Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma base canônica em , onde cada vetor é um dos eixos coordenados. Agora, nos dão outra coleção de vetores com:
O que precisamos fazer é mostrar que também forma uma base de . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: ela deve ter vetores que são linearmente independentes e que “preenchem” o espaço .
Passo 2
Uma forma eficiente de verificar se os vetores são linearmente independentes é montar uma matriz cujas colunas sejam esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores , e como colunas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
Como o determinante de A é -1, que é diferente de zero, isso significa que os vetores u1, u2 e u3 são linearmente independentes. Além disso, como temos exatamente três vetores em R^3, eles também preenchem todo o espaço.