Sejam beta=e1, e2, e3 a base canônica de R^3, i.e.,
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1)
Considere beta^prime=u1, u2, u3 onde
u1=(1,1,1), u2=(1,2,0) e u3=(1,0,1)
Faça o que se pede:
a) Mostre que beta^prime é uma base de R^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma base canônica beta = e1, e2, e3 em R^3, onde cada vetor é um dos eixos coordenados. Agora, nos dão outra coleção de vetores beta' = u1, u2, u3 com:
u1=(1,1,1), u2=(1,2,0), u3=(1,0,1)
O que precisamos fazer é mostrar que beta' também forma uma base de R^3. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: ela deve ter vetores que são linearmente independentes e que “preenchem” o espaço R^3.

Passo 2

Uma forma eficiente de verificar se os vetores são linearmente independentes é montar uma matriz cujas colunas sejam esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 3

Vamos montar a matriz A com os vetores u1, u2 e u3 como colunas:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 0 1 & 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1(2 cdot 1 - 0 cdot 0) - 1(1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 1(1 cdot 0 - 2 cdot 1) = 1(2) - 1(1) + 1(-2) = 2 - 1 - 2 = -1

Passo 5

Como o determinante de A é -1, que é diferente de zero, isso significa que os vetores u1, u2 e u3 são linearmente independentes. Além disso, como temos exatamente três vetores em R^3, eles também preenchem todo o espaço.

Resposta

Portanto, beta' = u1, u2, u3 é uma base de R^3.

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