Dados os vetores u=(-4,-m, 7) e v=(-2 m, m, 1),
a) determinar m, de modo que u cdot v assuma o maior valor possível:
b) para esse valor de m, determinar o ângulo formado pelos vetores u e v.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores u=(-4,-m,7) e v=(-2m,m,1) e pede: maximizar o produto escalar (parte a) e, para esse valor de m, achar o ângulo entre eles (parte b). Vamos usar a definição de produto escalar que gera uma função em m e depois a fórmula do ângulo.

Passo 2

Escrevendo o produto escalar em função de m:
ucdotv=(-4)(-2m)+(-m)(m)+7cdot1=-m^2+8m+7
Isso nos dá uma função quadrática f(m)=-m^2+8m+7.

Passo 3

Para maximizar f(m)=-m^2+8m+7, lembramos que o vértice de uma parábola am^2+bm+c ocorre em m=-b/(2a). Aqui a=-1 e b=8, logo:
m=-82cdot(-1)=4

Passo 4

Com m=4, calculamos u e v e o ângulo:
u =(-4,-4,7), v=(-8,4,1)
Produto escalar:
ucdotv=32-16+7=23
Normas:
|u|=raiz16+16+49=9, |v|=raiz64+16+1=9
Fórmula do ângulo:
costheta=ucdotv|u|,|v|=2381
Portanto:
theta=arccosl(tfrac2381r)approx73,5^circ

Resposta

m=4 e theta=arccosl(tfrac2381r)approx73,5^circ

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