Seja H1: x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1 o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
(xa+zc)(xa-zc)=(1+yb)(1-yb)
e prove que:
(a) para cada número real alpha, a solução do sistema
l (xa+zc)=alpha(1+yb) alpha(xa-zc)=(1-yb)
descreve uma reta ralpha.
(b) ralpha esta contida no hiperbolóide, para todo alpha.
(c) se P=(h, k, l) é um ponto de H1 e k neq-b, então P pertence a uma das retas ralpha.
(d) H1 é uma superfície regrada.

Passo 1

Nesse exercício vamos trabalhar com a hiperbolóide de uma folha definida por
x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1
O conteúdo envolve quadráticas em três variáveis, fatoração de diferença de quadrados e a definição de superfície regrada (superfície que contém pelo menos uma reta passando por cada ponto). Vamos fatorar a equação, definir uma família de retas ralpha e mostrar que elas geram toda a superfície.

Passo 2

Começamos fatorando a equação original. Separamos as partes em x,z e em y:
x^2a^2-z^2c^2=1-y^2b^2
Usando diferença de quadrados em bloco, obtemos
l(xa+zcr)l(xa-zcr)=l(1+ybr)l(1-ybr)

Passo 3

Para cada
Como são duas equações lineares em é uma reta. Logo cada conjunto de soluções é uma reta .

Passo 4

Para ver que ralphasubsetH1, basta multiplicar membro a membro as duas equações do sistema:
l(xa+zcr)cdotalphal(xa-zcr)=alphal(1+ybr)l(1-ybr)
Cancelando alpha (ou tratando o caso alpha=0 à parte), recuperamos
l(xa+zcr)l(xa-zcr)=l(1+ybr)l(1-ybr),
que é exatamente a equação de H1.

Passo 5

Seja agora um ponto genérico P=(h,k,l)inH1 com kneq -b. Então 1+tfrackbneq0 e podemos definir
alpha=tfracha+tfraclc1+tfrackb
Pelo fato de P satisfazer a equação fatorada, verifica-se que ele satisfaz ambas as equações do sistema que define ralpha. Logo Pin ralpha.

Passo 6

Juntando os itens anteriores, cada reta ralpha está contida em H1 e, para todo ponto de H1 com yneq -b, existe um alpha tal que o ponto pertence a essa reta. Assim H1 é união de retas, o que mostra que é uma superfície regrada.

Resposta

A hiperbolóide de uma folha é regrada, pois
H1=cupalphainRralpha

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