Seja
o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
e prove que:
(a) para cada número real
, a solução do sistema
descreve uma reta
.
(b)
esta contida no hiperbolóide, para todo
.
(c) se
é um ponto de
e
, então
pertence a uma das retas
.
(d)
é uma superfície regrada.
(a) para cada número real
(b)
(c) se
(d)
Passo 1
Nesse exercício vamos trabalhar com a hiperbolóide de uma folha definida por
O conteúdo envolve quadráticas em três variáveis, fatoração de diferença de quadrados e a definição de superfície regrada (superfície que contém pelo menos uma reta passando por cada ponto). Vamos fatorar a equação, definir uma família de retas
e mostrar que elas geram toda a superfície.
Passo 2
Começamos fatorando a equação original. Separamos as partes em
e em
:
Usando diferença de quadrados em bloco, obtemos
Passo 3
Para cada
Como são duas equações lineares em é uma reta. Logo cada conjunto de soluções é uma reta
.
Passo 4
Para ver que
, basta multiplicar membro a membro as duas equações do sistema:
Cancelando
(ou tratando o caso
à parte), recuperamos
que é exatamente a equação de
.
Passo 5
Seja agora um ponto genérico
com
. Então
e podemos definir
Pelo fato de
satisfazer a equação fatorada, verifica-se que ele satisfaz ambas as equações do sistema que define
. Logo
.
Passo 6
Juntando os itens anteriores, cada reta
está contida em
e, para todo ponto de
com
, existe um
tal que o ponto pertence a essa reta. Assim
é união de retas, o que mostra que é uma superfície regrada.
Resposta
A hiperbolóide de uma folha é regrada, pois