Dados os vetores u=(-2,-1,3), v=(2,1,3) determine
b) o ângulo formado entre estes vetores

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u=(-2,-1,3) e v=(2,1,3), e precisamos descobrir o ângulo que eles formam. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u e v. O produto escalar é encontrado multiplicando as componentes correspondentes e somando esses resultados. A fórmula é:
u cdot v = ux cdot vx + uy cdot vy + uz cdot vz
Vamos aplicar isso:
u cdot v = (-2) cdot 2 + (-1) cdot 1 + 3 cdot 3 = -4 -1 + 9 = 4

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A magnitude de um vetor u = (ux, uy, uz) é dada por:
||u|| = raizux^2 + uy^2 + uz^2
Vamos calcular para u:
||u|| = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14

Passo 4

Fazendo a mesma coisa para o vetor v:
||v|| = raiz2^2 + 1^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14

Passo 5

Com o produto escalar e as magnitudes calculados, podemos usar a fórmula do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v||
Substituindo os valores:
cos(theta) = 4raiz14 cdot raiz14 = 414 = 27

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de 27:
theta = arccos(27)
Calculando isso, obtemos aproximadamente:
theta approx 73,4^circ

Resposta

O ângulo formado entre os vetores u e v é de aproximadamente 73,4^circ.

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