Nos seguintes casos determine se o conjunto de vetores é um sub-espaço vetorial do espaço vetorial , dando a justificativa correta. , onde a, b, c in R
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um espaço vetorial a b c , que é basicamente o conjunto de todos os vetores com três componentes reais. O conjunto é definido como todos os vetores em onde a condição é satisfeita.
Nosso objetivo é descobrir se é um sub-espaço vetorial de . Para isso, vamos precisar lembrar quais são os critérios que um conjunto precisa cumprir para ser considerado um sub-espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar os três critérios principais para 0 0 0 ser um sub-espaço de :
O vetor zero está em : Isso significa que o vetor deve satisfazer a condição .
Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo desse vetor também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios.
Passo 3
1. Verificação do vetor zero:
Vamos ver se 0 0 0 está em a1 b1 c1 .
Aqui, a2 b2 c2 e a1 + a2 b1 + b2 c1 + c2 . Então, . A condição é satisfeita, então o vetor zero está em .
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em : e ,
onde e .
Somando esses vetores: .
Agora, precisamos verificar se .
Porém, isso nem sempre será verdadeiro. Por exemplo:
Se , , , ,
então e ,
que não são iguais.
Isso mostra que a soma de dois vetores em nem sempre está em , então não é fechado sob adição.
Passo 4
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos visto que a b c não é fechado sob adição, vamos verificar esse último critério.
Tomemos um vetor em k a k b k c : , onde .
Multiplicando por um escalar , obtemos: .
A condição para este vetor estar em seria .
Isso sempre será verdadeiro se , já que e , e implica .
Então, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto não é fechado sob adição, ele não é um sub-espaço vetorial de .