Dados os vetores u=(2,-3,2) e v=(4,-1,2):
a) Calcule u times v
b) Calcule o cosseno do ângulo entre u e v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos dois vetores no espaço tridimensional:
u = (2, -3, 2) e v = (4, -1, 2)
A gente vai trabalhar com operações de vetores, especificamente o produto vetorial e o cosseno do ângulo entre eles. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

a) Calculando o produto vetorial u times v
O produto vetorial de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
u = (2, -3, 2) e v = (4, -1, 2)
Calculando cada componente:
  1. Primeira componente:
u2 v3 - u3 v2 = (-3)(2) - (2)(-1) = -6 + 2 = -4
  1. Segunda componente:
u3 v1 - u1 v3 = (2)(4) - (2)(2) = 8 - 4 = 4
  1. Terceira componente:
u1 v2 - u2 v1 = (2)(-1) - (-3)(4) = -2 + 12 = 10

Passo 3

b) Calculando o cosseno do ângulo entre u e v
Para encontrar o cosseno do ângulo theta entre dois vetores, usamos a seguinte fórmula:
cos(theta) = u cdot v |u| |v|
Onde:
  • u cdot v é o produto escalar dos vetores.
  • |u| e |v| são as normas (ou módulos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
  1. Produto Escalar:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = (2)(4) + (-3)(-1) + (2)(2) = 8 + 3 + 4 = 15
  1. Norma de u:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 = raiz2^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz4 + 9 + 4 = raiz17
  1. Norma de v:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 = raiz4^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21
Agora, substituindo na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 15raiz17 times raiz21 = 15raiz357 approx 1518.89 approx 0.794

Resposta

a) O produto vetorial u times v = (-4, 4, 10)
b) O cosseno do ângulo entre u e v é aproximadamente 0,794

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