Nos exercícios 23 a 32 , verifique se o subconjunto A do espaço vetorial V é LI ou LD.
V=R^3, A=(1,2,-1),(1,0,0),(0,1,2),(3,-1,2)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos V=R^3 e o conjunto A=v1,v2,v3,v4 com
v1=(1,2,-1), v2=(1,0,0), v3=(0,1,2), v4=(3,-1,2)
O conteúdo aqui é independência linear em espaços vetoriais: precisamos ver se existe uma combinação linear não trivial que produza o vetor nulo. Em R^3 sabemos que no máximo três vetores podem ser independentes, então quatro vetores serão necessariamente linearmente dependentes.

Passo 2

Para mostrar a dependência, consideramos a combinação
c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 = (0,0,0)
e escrevemos o sistema de coordenadas:
c1 + c2 + 3c4 = 0, 2c1 + c3 - c4 = 0, -,c1 + 2c3 + 2c4 = 0

Passo 3

Da primeira equação isolamos c2 = -c1 -3c4 e da segunda c3 = -2c1 + c4. Substituindo esses valores na terceira equação:
-,c1 + 2(-2c1 + c4) + 2c4 = 0 Longrightarrow -5c1 + 4c4 = 0 Longrightarrow c4 = tfrac54c1

Passo 4

Para obter coeficientes inteiros, escolhemos c1 = 4. Daí
c4 = 5, c3 = -2cdot4 + 5 = -3, c2 = -4 -3cdot5 = -19
Isso gera a combinação não trivial
4v1 ;-;19v2;-;3v3;+;5v4 ;=;(0,0,0)

Passo 5

Como encontramos coeficientes não todos nulos que satisfazem essa combinação, concluímos que o conjunto A é linearmente dependente.

Resposta

A é linearmente dependente.

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