Nos exercícios 37 a 44, verifique se o conjunto B é uma base do espaço vetorial V.
V=R^3, B=(1,1,-1),(2,-1,0),(3,2,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = (1,1,-1),,(2,-1,0),,(3,2,0)
é uma base do espaço vetorial V = R^3.
Para isso lembramos que em R^3 um conjunto de três vetores é base se, e somente se, eles forem linearmente independentes (pois já têm a mesma quantidade de vetores que a dimensão do espaço).

Passo 2

Para testar independência usamos o determinante. Colocamos os vetores de B como linhas (ou colunas) de uma matriz M. Por exemplo, como linhas:
M = 1 & 1 & -1 2 & -1 & 0 3 & 2 & 0

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
det(M) = 1cdot-1 & 02 & 0 -1cdot2 & 03 & 0 +(-1)cdot2 & -13 & 2
Os dois primeiros menores valem zero, e o último vale
2 & -13 & 2 =2cdot2 -(-1)cdot3 =4+3 =7
Portanto
det(M) = 0 - 0 +(-1)cdot7 = -7 neq 0

Passo 4

Como det(M)neq0, os vetores de B são linearmente independentes. Tendo três vetores independentes em R^3, eles também geram todo o espaço, logo formam uma base.

Resposta

Sim, B é uma base de R^3, pois det(M)=-7neq0.

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