Sendo os vetores u=(2,1,3) e v=(4,1,-3), determine uma base ortonormal positiva (e1, e2, e3) com e1 paral<=l u e e2 paral<=l v.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal positiva l(vec e1,vec e2,vec e3r) em R^3 tal que vec e1paral<=lvec u e vec e2paral<=lvec v, com
vec u=(2,1,3), vec v=(4,1,-3)
O método é o processo de Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais, e depois ajustar a orientação para que seja positiva (base direta).

Passo 2

Primeiro normalizamos vec u para obter vec e1.
O comprimento de vec u é
|vec u|=raiz2^2+1^2+3^2=raiz14
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vec e1=vec u|vec u| =l(2raiz14,1raiz14,3raiz14r)

Passo 3

Verificamos o produto interno vec ucdotvec v=2cdot4+1cdot1+3cdot(-3)=8+1-9=0.
Como vec v já é ortogonal a vec u, basta normalizá-lo para obter vec e2.
O comprimento de vec v é
|vec v|=raiz4^2+1^2+(-3)^2=raiz26,
portanto
vec e2=vec v|vec v| =l(4raiz26,1raiz26,-3raiz26r)

Passo 4

Para fechar a base ortonormal direta, calculamos
vec e3=vec e1timesvec e2
Usando
vec e1=1raiz14(2,1,3) e
vec e2=1raiz26(4,1,-3), temos
(2,1,3)times(4,1,-3) =(,1cdot(-3)-3cdot1,;3cdot4-2cdot(-3),;2cdot1-1cdot4) =(-6,18,-2)
O fator de normalização é
|( -6,18,-2)|=raiz36+324+4=raiz364=2raiz91,
e raiz14,raiz26=raiz364=2raiz91. Assim
vec e3 =1raiz14,raiz26,( -6,18,-2) =12raiz91(-6,18,-2) =l(-3raiz91,9raiz91,-1raiz91r)

Resposta

vec e1=l(tfrac2raiz14,tfrac1raiz14,tfrac3raiz14r), vec e2=l(tfrac4raiz26,tfrac1raiz26,-tfrac3raiz26r), vec e3=l(-tfrac3raiz91,tfrac9raiz91,-tfrac1raiz91r)

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