Dados os vetores
u=(3,-2,1) e v=(-2,5,-1)
encontre as componentes e módulo dos seguintes vetores:
13 u+23 v

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as componentes e o módulo do vetor tfrac13vec u + tfrac23vec v, onde temos os vetores vec u=(3,-2,1) e vec v=(-2,5,-1). O conteúdo envolvido é combinação linear de vetores em R^3 e cálculo de norma de vetor.

Passo 2

Para achar as componentes de vec w = tfrac13vec u + tfrac23vec v, usamos combinação linear coordenada a coordenada:
wx = tfrac13ux + tfrac23vx = tfrac13cdot3 + tfrac23cdot(-2) = 1 - tfrac43 = -tfrac13,
wy = tfrac13uy + tfrac23vy = tfrac13cdot(-2) + tfrac23cdot5 = -tfrac23 + tfrac103 = tfrac83,
wz = tfrac13uz + tfrac23vz = tfrac13cdot1 + tfrac23cdot(-1) = tfrac13 - tfrac23 = -tfrac13
Assim, vec w = l(-tfrac13,tfrac83,-tfrac13r).

Passo 3

Para calcular o módulo de vec w, usamos a definição de norma em R^3:
|vec w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2
Substituindo as componentes:
|vec w| = raizl(-tfrac13r)^2 + l(tfrac83r)^2 + l(-tfrac13r)^2 = raiztfrac1 + 64 + 19 = raiztfrac669 = tfracraiz663

Resposta

As componentes são l(-tfrac13,tfrac83,-tfrac13r) e o módulo é tfracraiz663.

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