Exercício 5 Seja T: V V uma transformação linear sobre o espaço V de dimensão finita n.
(a) Mostre que se v é autovetor de T então beta v também o é, seja qual for beta in R.
(b) Sejam v e w autovetores associados a autovalores lambda e gamma, respectivamente. Mostre que se lambda neq gamma, então v, w é L.I.
© Mostre que se T possui n autovalores distintos, então T é diagonalizável, isto é, existe em V uma base formada por autovetores de T.

Passo 1

Temos uma transformação linear T:Vto V em um espaço vetorial de dimensão finita n. Lembrando que um vetor vneq0 é autovetor de T associado ao autovalor lambda se vale T(v)=lambda v. Para resolver vamos usar a definição de autovetor, a linearidade de T e o resultado de independência linear em espaços de dimensão n.

Passo 2

Supondo que v seja autovetor de T com T(v)=lambda v, então para qualquer escalar betain R, pela linearidade de T temos
T(beta v)=beta,T(v)=beta,lambda v=lambda,(beta v)
Isso mostra que beta v satisfaz a mesma equação de autovetor, logo é autovetor associado a lambda.

Passo 3

Agora, sejam v e w autovetores de T associados a lambda e gamma respectivamente, com lambdaneqgamma. Suponha que exista combinação linear
a,v+b,w=0.
Aplicando T em ambos os lados e usando T(v)=lambda v, T(w)=gamma w obtemos
a,lambda v+b,gamma w=0.
Agora subtraindo lambda vezes a primeira combinação, fica
a(lambda-gamma)v=0.
Como vneq0 e lambdaneqgamma, segue a=0. Analogamente, b=0. Concluímos que v,w é L.I…

Passo 4

Se T possui n autovalores distintos lambda1,dots,lambdan, então para cada lambdai existe autovetor não-nulo vi. Pelo item anterior, o conjunto v1,dots,vn é formado por n vetores L.I. num espaço de dimensão n, logo é base de V. Essa base é toda de autovetores, e isso implica que T é diagonalizável.

Passo 5

Portanto, reunindo tudo: (a) todo múltiplo escalar de autovetor é autovetor; (b) autovetores de autovalores distintos são L.I.; © com n autovalores distintos temos uma base de autovetores e, assim, T é diagonalizável.

Resposta

(a) Para qualquer betain R, T(beta v)=lambda(beta v), logo beta v é autovetor de T associado a lambda. (b) Se T(v)=lambda v, T(w)=gamma w e lambdaneqgamma, uma combinação av+bw=0 força a=b=0, mostrando que v,w é L.I. © Com n autovalores distintos existem n autovetores L.I., formando uma base de V e tornando T diagonalizável.

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