Exercício 5 Seja
uma transformação linear sobre o espaço
de dimensão finita
.
(a) Mostre que se
é autovetor de
então
também o é, seja qual for
.
(b) Sejam
e
autovetores associados a autovalores
e
, respectivamente. Mostre que se
, então
é L.I.
© Mostre que se
possui
autovalores distintos, então
é diagonalizável, isto é, existe em
uma base formada por autovetores de
.
(a) Mostre que se
(b) Sejam
© Mostre que se
Passo 1
Temos uma transformação linear
em um espaço vetorial de dimensão finita
. Lembrando que um vetor
é autovetor de
associado ao autovalor
se vale
. Para resolver vamos usar a definição de autovetor, a linearidade de
e o resultado de independência linear em espaços de dimensão
.
Passo 2
Supondo que
seja autovetor de
com
, então para qualquer escalar
, pela linearidade de
temos
Isso mostra que
satisfaz a mesma equação de autovetor, logo é autovetor associado a
.
Passo 3
Agora, sejam
e
autovetores de
associados a
e
respectivamente, com
. Suponha que exista combinação linear
.
Aplicando em ambos os lados e usando
,
obtemos
.
Agora subtraindo vezes a primeira combinação, fica
.
Como e
, segue
. Analogamente,
. Concluímos que
é L.I…
Aplicando
Agora subtraindo
Como
Passo 4
Se
possui
autovalores distintos
, então para cada
existe autovetor não-nulo
. Pelo item anterior, o conjunto
é formado por
vetores L.I. num espaço de dimensão
, logo é base de
. Essa base é toda de autovetores, e isso implica que
é diagonalizável.
Passo 5
Portanto, reunindo tudo: (a) todo múltiplo escalar de autovetor é autovetor; (b) autovetores de autovalores distintos são L.I.; © com
autovalores distintos temos uma base de autovetores e, assim,
é diagonalizável.
Resposta
(a) Para qualquer
,
, logo
é autovetor de
associado a
. (b) Se
,
e
, uma combinação
força
, mostrando que
é L.I. © Com
autovalores distintos existem
autovetores L.I., formando uma base de
e tornando
diagonalizável.