Exercício 4 Dado o operador linear T: R^2 R^2 seja A=[T]alpha^alpha a matriz de T na base alpha de R^2. Mostre que o polinômio característico de T é pT(lambda)=lambda^2-(tr A) lambda+det A.

Passo 1

O enunciado define um operador linear T:R^2toR^2 cuja matriz na base alpha é A=[T]alpha^alpha. Queremos mostrar que o polinômio característico de T é pT(lambda)=lambda^2-(tr,A),lambda+det A. Para isso vamos usar a definição de polinômio característico e a fórmula do determinante de matrizes 2×2.

Passo 2

Pela definição, o polinômio característico de T é dado por
pT(lambda)=detl(A-lambda Ir)
Se escrevemos
A=a & bc & d,
então
A-lambda I=a-lambda & bc & d-lambda

Passo 3

O determinante dessa matriz é
det(A-lambda I)=(a-lambda)(d-lambda)-b,c
Desenvolvendo o produto,
(a-lambda)(d-lambda)=ad-(a+d)lambda+lambda^2,

Passo 4

então
det(A-lambda I)=lambda^2-(a+d)lambda+(ad-bc)

Passo 5

Reconhecendo que tr,A=a+d e det A=ad-bc, concluímos que
pT(lambda)=lambda^2-(tr,A),lambda+det A

Resposta

pT(lambda)=lambda^2-(tr,A),lambda+det A

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