Exercício 4 Dado o operador linear
seja
a matriz de
na base
de
. Mostre que o polinômio característico de
é
.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
cuja matriz na base
é
. Queremos mostrar que o polinômio característico de
é
. Para isso vamos usar a definição de polinômio característico e a fórmula do determinante de matrizes 2×2.
Passo 2
Pela definição, o polinômio característico de
é dado por
Se escrevemos
então
Passo 3
O determinante dessa matriz é
Desenvolvendo o produto,
Passo 4
então
Passo 5
Reconhecendo que
e
, concluímos que