Dados os vetores u=(2,3,2) e v=(1,2,-3), pede-se:
d) calcule as normas dos vetores u e v e o ângulo entre eles.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, $ u = (2, 3, 2) $ e $ v = (1, 2, -3) $. O que precisamos fazer aqui é calcular as normas (ou seja, os comprimentos) desses dois vetores e depois descobrir o ângulo que eles formam entre si. Para isso, vamos usar algumas fórmulas da matemática vetorial, como a fórmula da norma de um vetor e a fórmula do ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do vetor $ u $. A norma de um vetor $ u = (x, y, z) $ é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados das suas componentes:
u
Aplicando isso ao vetor $ u = (2, 3, 2) $:
u = (x, y, z)

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma do vetor $ v $. Usando a mesma fórmula:
v
Para o vetor $ v = (1, 2, -3) $:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 4

Agora que temos as normas dos vetores, vamos encontrar o ângulo entre eles. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
u cdot v = xu xv + yu yv + zu zv
Calculando o produto escalar de $ u $ e $ v $:
u

Passo 5

Com o produto escalar e as normas, podemos usar a seguinte fórmula para encontrar o ângulo $ \theta $ entre os vetores:
theta
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = u cdot v|u| |v|
Agora, para achar o ângulo $ \theta $, tiramos o arco cosseno:
cos(theta) = 24,123 times 3,742 approx 215,43 approx 0,13

Resposta

As normas dos vetores são $ |u| \approx 4,123 $ e $ |v| \approx 3,742 $. O ângulo entre os vetores $ u $ e $ v $ é aproximadamente $ 82,35^\circ $.

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