Dados os vetores
e
, pede-se:
d) calcule as normas dos vetores
e
e o ângulo entre eles.
d) calcule as normas dos vetores
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, $ u = (2, 3, 2) $ e $ v = (1, 2, -3) $. O que precisamos fazer aqui é calcular as normas (ou seja, os comprimentos) desses dois vetores e depois descobrir o ângulo que eles formam entre si. Para isso, vamos usar algumas fórmulas da matemática vetorial, como a fórmula da norma de um vetor e a fórmula do ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a norma do vetor $ u $. A norma de um vetor $ u = (x, y, z) $ é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados das suas componentes:
Aplicando isso ao vetor $ u = (2, 3, 2) $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma do vetor $ v $. Usando a mesma fórmula:
Para o vetor $ v = (1, 2, -3) $:
Passo 4
Agora que temos as normas dos vetores, vamos encontrar o ângulo entre eles. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
Calculando o produto escalar de $ u $ e $ v $:
Passo 5
Com o produto escalar e as normas, podemos usar a seguinte fórmula para encontrar o ângulo $ \theta $ entre os vetores:
Substituindo os valores que encontramos:
Agora, para achar o ângulo $ \theta $, tiramos o arco cosseno:
Resposta
As normas dos vetores são $ |u| \approx 4,123 $ e $ |v| \approx 3,742 $. O ângulo entre os vetores $ u $ e $ v $ é aproximadamente $ 82,35^\circ $.