Dados os vetores u, v, com u neq 0, prove que o vetor
w=v-lang<=v, urang<=lang<=u, urang<= u
é perpendicular a u.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores u e v num espaço com produto interno, com uneq 0, e define
w = v - lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u
Queremos mostrar que w é perpendicular a u, isto é, que lang<= w,urang<= = 0. Para isso, usaremos as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Aplicando a bilinearidade do produto interno, escrevemos
lang<= w,urang<= = llang<= v - lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u,,urrang<= = lang<= v,urang<= ;-;lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,lang<= u,urang<=

Passo 3

Na segunda parcela, o fator lang<= u,urang<= no numerador e denominador se cancelam, ficando
lang<= w,urang<= = lang<= v,urang<= - lang<= v,urang<= = 0

Resposta

Como lang<= w,urang<==0, concluímos que w é perpendicular a u.

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