Sejam u, v vetores não-colineares. Se um vetor w é tal que lang<=w, urang<==0 e lang<=w, vrang<==0, mostre que w=0.

Passo 1

O enunciado fala de um espaço vetorial real com produto interno e de dois vetores não-colineares u,v. Como eles não são colineares, isso significa que são linearmente independentes e, em particular, formam base de um espaço de dimensão 2 (por exemplo R^2). Queremos mostrar que qualquer vetor w ortogonal a ambos—isto é,
lang<=w,urang<==0 e lang<=w,vrang<==0
—deve ser o vetor nulo. Para isso vamos usar a ideia de expansão em base e as propriedades do determinante de Gram.

Passo 2

Como u,v é base do espaço, escrevemos
w = a,u + b,v
para alguns escalares a,binR. Nosso objetivo é mostrar que a=b=0.

Passo 3

Tomamos produto interno de w com u e com v. Usando bilinearidade:
lang<=w,urang<= = lang<= a,u+b,v,,urang<= = a,lang<=u,urang<= + b,lang<=v,urang<= = 0,
lang<=w,vrang<= = lang<= a,u+b,v,,vrang<= = a,lang<=u,vrang<= + b,lang<=v,vrang<= = 0
Assim, (a,b) satisfaz o sistema linear
a,lang<=u,urang<= ;+; b,lang<=u,vrang<= = 0, a,lang<=u,vrang<= ;+; b,lang<=v,vrang<= = 0

Passo 4

O determinante desse sistema é o determinante de Gram:
D = lang<=u,urang<= & lang<=u,vrang<= lang<=u,vrang<= & lang<=v,vrang<= = lang<=u,urang<=,lang<=v,vrang<= - lang<=u,vrang<=^2
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, lang<=u,vrang<=^2 <= lang<=u,urang<=,lang<=v,vrang<=, e a igualdade ocorreria somente se u e v fossem colineares. Como não são, de fato
D>0,
logo o único par (a,b) que anula o sistema é (0,0).

Resposta

Daí a=0 e b=0, isto é,
w = 0,

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