Sejam vetores não-colineares. Se um vetor é tal que e , mostre que .
Passo 1
O enunciado fala de um espaço vetorial real com produto interno e de dois vetores não-colineares . Como eles não são colineares, isso significa que são linearmente independentes e, em particular, formam base de um espaço de dimensão 2 (por exemplo ). Queremos mostrar que qualquer vetor ortogonal a ambos—isto é,
—deve ser o vetor nulo. Para isso vamos usar a ideia de expansão em base e as propriedades do determinante de Gram.
Passo 2
Como é base do espaço, escrevemos
para alguns escalares . Nosso objetivo é mostrar que .
Passo 3
Tomamos produto interno de com e com . Usando bilinearidade:
Assim, satisfaz o sistema linear
Passo 4
O determinante desse sistema é o determinante de Gram:
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, lang<=u,vrang<=^2 <= lang<=u,urang<=,lang<=v,vrang<=, e a igualdade ocorreria somente se u e v fossem colineares. Como não são, de fato
D>0,
logo o único par (a,b) que anula o sistema é (0,0).