O enunciado nos dá os vetores , e ,
e pede várias operações: produto escalar, produto vetorial, produto misto e soma seguida de produto escalar.
Vamos usar as definições:
– produto escalar ,
– produto vetorial via determinante em ,
– produto misto ,
– anticomutatividade .
Passo 2
Para (a) aplicamos diretamente
que dá .
Como o produto escalar é comutativo, .
Passo 3
Para (b) usamos o determinante
Fazendo os cálculos de cofatores obtemos utimesv=(1,1,-1).
Pela anticomutatividade segue vtimesu=-(1,1,-1)=(-1,-1,1).
Passo 4
Para (c) calculamos o produto misto
(utimesv)cdotw =(1,1,-1)cdot(-1,2,2) =-1+2-2=-1
Passo 5
Para (d) fazemos o produto vetorial entre utimesv e w:
(utimesv)timesw =(1,1,-1)times(-1,2,2)
Calculando pelo determinante ou pela regra de Sarrus dá
(utimesv)timesw=(4,-1,3)
Passo 6
Para (e) montamos u+v=(3,-2,1) e u+w=(1,1,3).
O produto escalar é
(3,-2,1)cdot(1,1,3) =3cdot1+(-2)cdot1+1cdot3 =4
Resposta
a) ucdotv=3 e vcdotu=3
b) utimesv=(1,1,-1), vtimesu=(-1,-1,1)
c) (utimesv)cdotw=-1
d) (utimesv)timesw=(4,-1,3)
e) (u+v)cdot(u+w)=4