Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2), calcular:
a) u cdot v e v cdot u
b) u times v e v times u
c) (u times v) cdot w
d) (u times v) times w
e) (u+v) cdot(u+w)

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2),
e pede várias operações: produto escalar, produto vetorial, produto misto e soma seguida de produto escalar.
Vamos usar as definições:
– produto escalar acdotb=sum ai bi,
– produto vetorial via determinante em R^3,
– produto misto (atimesb)cdotc,
– anticomutatividade btimesa=-(atimesb).

Passo 2

Para (a) aplicamos diretamente
ucdotv =2cdot1+(-1)cdot(-1)+1cdot0
que dá
ucdotv=3.
Como o produto escalar é comutativo,
vcdotu=3.

Passo 3

Para (b) usamos o determinante
utimesv = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & -1 & 0
Fazendo os cálculos de cofatores obtemos
utimesv=(1,1,-1).
Pela anticomutatividade segue
vtimesu=-(1,1,-1)=(-1,-1,1).

Passo 4

Para (c) calculamos o produto misto
(utimesv)cdotw =(1,1,-1)cdot(-1,2,2) =-1+2-2=-1

Passo 5

Para (d) fazemos o produto vetorial entre utimesv e w:
(utimesv)timesw =(1,1,-1)times(-1,2,2)
Calculando pelo determinante ou pela regra de Sarrus dá
(utimesv)timesw=(4,-1,3)

Passo 6

Para (e) montamos
u+v=(3,-2,1) e
u+w=(1,1,3).
O produto escalar é
(3,-2,1)cdot(1,1,3) =3cdot1+(-2)cdot1+1cdot3 =4

Resposta

a) ucdotv=3 e vcdotu=3
b) utimesv=(1,1,-1), vtimesu=(-1,-1,1)
c) (utimesv)cdotw=-1
d) (utimesv)timesw=(4,-1,3)
e) (u+v)cdot(u+w)=4

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