Dados vetores u, v e w :
(a) Qual a definição de u cdot v sem coordenadas?
(b) Qual a definição de u times v sem coordenadas?
(c) Se u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2), qual o valor de u cdot v ? E qual o resultado de u times v ?
(d) Como calcular (u times v) cdot w ?
(e) O que são vetores ortogonais? Como verificar se u e v são ortogonais usando produto escalar?
(f) Qual o significado geométrico de |u times v| ? E de |(u times v) cdot w| ?
(g) O que é combinação linear entre os vetores u, v e w ?
(h) Como verificar se três vetores com mesma origem estão num mesmo plano usando produto misto?
(i) Qual a projeção ortogonal de u sobre v, sendo v um vetor não-nulo?
(j) O que é um vetor unitário? Como construir o versor de um vetor não-nulo u ?

Passo 1

O enunciado pede várias definições e fórmulas envolvendo os vetores u,v,w em R^3. Vamos precisar de conceitos de produto escalar, produto vetorial, produto misto, ortogonalidade, projeção ortogonal, combinação linear, coplanaridade e versor (vetor unitário).

Passo 2

Definição do produto escalar sem coordenadas. Dados u e v, seja theta o ângulo entre eles. Define-se
ucdotv=|u|,|v|costheta
Isso mede quanto u “projeta” em v.

Passo 3

Definição do produto vetorial sem coordenadas. Dados u e v, o vetor utimesv é aquele perpendicular a ambos, com magnitude
|utimesv|=|u|,|v|sintheta
e direção dada pela regra da mão direita (orientação de u para v).

Passo 4

Fórmulas em coordenadas para u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2):
ucdotv=x1x2+y1y2+z1z2,
utimesv = i&j&k x1&y1&z1 x2&y2&z2 =l(y1z2 - z1y2,;z1x2 - x1z2,;x1y2 - y1x2r)

Passo 5

Cálculo do produto misto (utimesv)cdotw. Em coordenadas é o determinante
(utimesv)cdotw =det x1&y1&z1 x2&y2&z2 x3&y3&z3 ,
onde w=(x3,y3,z3).

Passo 6

Ortogonalidade de vetores. Dois vetores são ortogonais se formam ângulo de 90^circ. Em termos de produto escalar:
uperpvLong<=ftrightarrowucdotv=0

Passo 7

Significado geométrico de normas:
|utimesv| é a área do paralelogramo gerado por u e v.
l|(utimesv)cdotwr| é o volume do paralelepípedo cujas arestas são u,v,w.

Passo 8

Combinação linear. Dizemos que
alphau+betav+gammaw
é uma combinação linear de u,v,w. Aqui alpha,beta,gammainR.

Passo 9

Critério de coplanaridade. Três vetores com a mesma origem são coplanares se e somente se seu produto misto for zero:
(utimesv)cdotw=0

Passo 10

Projeção ortogonal de u sobre v ( vneq0):
projvu =ucdotv|v|^2,v

Passo 11

Versor (vetor unitário). Um vetor é unitário se sua norma vale 1. Dado uneq0, seu versor é
widehatu=u|u|,
que satisfaz |widehatu|=1.

Resposta

(a) .
(b) é o vetor perpendicular a e com e direção pela regra da mão direita.
(c) ;
.
(d)
(e) Vetores ortogonais têm produto escalar zero: .
(f) é a área do paralelogramo gerado por ;
é o volume do paralelepípedo com arestas .
(g) É qualquer vetor da forma , .
(h) São coplanares se .
(i) .
(j) Vetor unitário tem norma . O versor de é .

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