Dados vetores e :
(a) Qual a definição de sem coordenadas?
(b) Qual a definição de sem coordenadas?
(c) Se e , qual o valor de ? E qual o resultado de ?
(d) Como calcular ?
(e) O que são vetores ortogonais? Como verificar se e são ortogonais usando produto escalar?
(f) Qual o significado geométrico de ? E de ?
(g) O que é combinação linear entre os vetores e ?
(h) Como verificar se três vetores com mesma origem estão num mesmo plano usando produto misto?
(i) Qual a projeção ortogonal de sobre , sendo um vetor não-nulo?
(j) O que é um vetor unitário? Como construir o versor de um vetor não-nulo ?
Passo 1
O enunciado pede várias definições e fórmulas envolvendo os vetores em . Vamos precisar de conceitos de produto escalar, produto vetorial, produto misto, ortogonalidade, projeção ortogonal, combinação linear, coplanaridade e versor (vetor unitário).
Passo 2
Definição do produto escalar sem coordenadas. Dados e , seja o ângulo entre eles. Define-se
Isso mede quanto “projeta” em .
Passo 3
Definição do produto vetorial sem coordenadas. Dados e , o vetor é aquele perpendicular a ambos, com magnitude
e direção dada pela regra da mão direita (orientação de para ).
Passo 4
Fórmulas em coordenadas para e :
Passo 5
Cálculo do produto misto (utimesv)cdotw. Em coordenadas é o determinante
(utimesv)cdotw =det x1&y1&z1 x2&y2&z2 x3&y3&z3 ,
onde w=(x3,y3,z3).
Passo 6
Ortogonalidade de vetores. Dois vetores são ortogonais se formam ângulo de 90^circ. Em termos de produto escalar:
uperpvLong<=ftrightarrowucdotv=0
Passo 7
Significado geométrico de normas: |utimesv| é a área do paralelogramo gerado por u e v. l|(utimesv)cdotwr| é o volume do paralelepípedo cujas arestas são u,v,w.
Passo 8
Combinação linear. Dizemos que alphau+betav+gammaw
é uma combinação linear de u,v,w. Aqui alpha,beta,gammainR.
Passo 9
Critério de coplanaridade. Três vetores com a mesma origem são coplanares se e somente se seu produto misto for zero:
(utimesv)cdotw=0
Passo 10
Projeção ortogonal de u sobre v (vneq0):
projvu =ucdotv|v|^2,v
Passo 11
Versor (vetor unitário). Um vetor é unitário se sua norma vale 1. Dado uneq0, seu versor é
widehatu=u|u|,
que satisfaz |widehatu|=1.
Resposta
(a) .
(b) é o vetor perpendicular a e com e direção pela regra da mão direita.
(c) ; .
(d)
(e) Vetores ortogonais têm produto escalar zero: .
(f) é a área do paralelogramo gerado por ; é o volume do paralelepípedo com arestas .
(g) É qualquer vetor da forma , .
(h) São coplanares se .
(i) .
(j) Vetor unitário tem norma . O versor de é .