Dados os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em \mathbb{R}^{3}, obtenha \alpha, \beta números reais, tais que w=\alpha u+\beta v. Quantas soluções admite este problema?
Passo 1
O enunciado dá os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em \mathbb{R}^3. Queremos encontrar reais \alpha e \beta tais que
w = \alpha\,u + \beta\,v.
O conteúdo aqui é combinação linear de vetores e solução de sistema linear. Vamos montar o sistema a partir das coordenadas e resolver por eliminação.
Passo 2
Da igualdade vetorial w=\alpha u+\beta v comparamos componentes e obtemos o sistema
logo a solução é consistente. Além disso, como u e v não são múltiplos um do outro, são linearmente independentes, e a combinação linear que gera w é única.
Resposta
\alpha=3, \beta=-2. O problema admite exatamente uma solução.