Dados os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em \mathbb{R}^{3}, obtenha \alpha, \beta números reais, tais que w=\alpha u+\beta v. Quantas soluções admite este problema?

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em \mathbb{R}^3. Queremos encontrar reais \alpha e \beta tais que
w = \alpha\,u + \beta\,v.
O conteúdo aqui é combinação linear de vetores e solução de sistema linear. Vamos montar o sistema a partir das coordenadas e resolver por eliminação.

Passo 2

Da igualdade vetorial w=\alpha u+\beta v comparamos componentes e obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + 3\beta = -3,\\\\ 2\alpha + 2\beta = 2,\\\\ 3\alpha + \beta = 7. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação
2\alpha + 2\beta = 2
dividimos por 2 e isolamos \alpha:
\alpha + \beta = 1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 1 - \beta.

Passo 4

Substituindo \alpha=1-\beta na primeira equação \alpha+3\beta=-3 vem
(1-\beta)+3\beta=-3 \quad\Longrightarrow\quad 1+2\beta=-3 \quad\Longrightarrow\quad 2\beta=-4 \quad\Longrightarrow\quad \beta=-2,
e daí \alpha=1-(-2)=3.

Passo 5

Verificamos a terceira equação:
3\alpha+\beta = 3\cdot 3 + (-2) = 9 - 2 = 7,
logo a solução é consistente. Além disso, como u e v não são múltiplos um do outro, são linearmente independentes, e a combinação linear que gera w é única.

Resposta

\alpha=3, \beta=-2. O problema admite exatamente uma solução.

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