Verfique se os conjuntos a seguir são ortogonais para os espaços com produto interno conforme indicado.
(c) \{(1,2),(-2,3),(2,-1)\} com o produto interno usual do \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o conjunto \{(1,2),(-2,3),(2,-1)\} é ortogonal em \mathbb{R}^2 equipado com o produto interno usual, definido por
\langle(x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle = x_1y_1 + x_2y_2.
Para isso, vamos calcular os produtos internos entre cada par de vetores.

Passo 2

Calculamos os produtos internos:
\langle(1,2),\,(-2,3)\rangle = 1\cdot(-2) + 2\cdot 3 = -2 + 6 = 4,
\langle(1,2),\,(2,-1)\rangle = 1\cdot 2 + 2\cdot(-1) = 2 - 2 = 0,
\langle(-2,3),\,(2,-1)\rangle = (-2)\cdot 2 + 3\cdot(-1) = -4 - 3 = -7.

Passo 3

Um conjunto é ortogonal se, e somente se, todo produto interno entre vetores distintos for zero. Aqui vemos que \langle(1,2),(-2,3)\rangle = 4 \neq 0 e \langle(-2,3),(2,-1)\rangle = -7 \neq 0.
Portanto, não satisfazem a condição de ortogonalidade.

Resposta

O conjunto não é ortogonal em \mathbb{R}^2 com o produto interno usual. Apenas os vetores (1,2) e (2,-1) formam um par ortogonal dentro desse conjunto.

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