Verfique se os conjuntos a seguir são ortogonais para os espaços com produto interno conforme indicado.
(c)
com o produto interno usual do
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
é ortogonal em
com o produto interno usual. Para isso, precisamos lembrar que em
o produto interno de dois vetores
e
é dado por
O conjunto será ortogonal somente se o produto interno de cada par distinto de vetores for zero.
Passo 2
Calcular o produto interno entre o primeiro vetor
e o segundo vetor
:
Como
, esses dois vetores não são ortogonais.
Passo 3
Calcular o produto interno entre o primeiro vetor
e o terceiro vetor
:
Aqui há ortogonalidade, mas precisamos verificar todos os pares.
Passo 4
Calcular o produto interno entre o segundo vetor
e o terceiro vetor
:
Como
, esses dois vetores também não são ortogonais.
Passo 5
Concluímos que nem todos os pares de vetores têm produto interno zero (em particular,
e
dão
, e
e
dão
). Logo, o conjunto não é ortogonal.
Resposta
O conjunto não é ortogonal.