Verfique se os conjuntos a seguir são ortogonais para os espaços com produto interno conforme indicado.
(c) \{(1,2),(-2,3),(2,-1)\} com o produto interno usual do \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \{(1,2),\,(-2,3),\,(2,-1)\} é ortogonal em \mathbb{R}^2 com o produto interno usual. Para isso, precisamos lembrar que em \mathbb{R}^2 o produto interno de dois vetores (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dado por
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2.
O conjunto será ortogonal somente se o produto interno de cada par distinto de vetores for zero.

Passo 2

Calcular o produto interno entre o primeiro vetor (1,2) e o segundo vetor (-2,3):
(1,2)\cdot(-2,3) =1\cdot(-2)+2\cdot3 =-2+6 =4.
Como 4\neq0, esses dois vetores não são ortogonais.

Passo 3

Calcular o produto interno entre o primeiro vetor (1,2) e o terceiro vetor (2,-1):
(1,2)\cdot(2,-1) =1\cdot2+2\cdot(-1) =2-2 =0.
Aqui há ortogonalidade, mas precisamos verificar todos os pares.

Passo 4

Calcular o produto interno entre o segundo vetor (-2,3) e o terceiro vetor (2,-1):
(-2,3)\cdot(2,-1) =-2\cdot2+3\cdot(-1) =-4-3 =-7.
Como -7\neq0, esses dois vetores também não são ortogonais.

Passo 5

Concluímos que nem todos os pares de vetores têm produto interno zero (em particular, (1,2) e (-2,3) dão 4\neq0, e (-2,3) e (2,-1) dão -7\neq0). Logo, o conjunto não é ortogonal.

Resposta

O conjunto não é ortogonal.

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