Verifique se os conjuntos a seguir subespaços vetoriais de M(2,2). Em caso afirmativo, exiba um conjunto de geradores deste espaço.
W=\left[\begin{array}{ll}-b & 2 \\\\ 0 & b\end{array}\right], onde b \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define
W = \Bigl\{\begin{pmatrix}-b & 2\\\ 0 & b\end{pmatrix}\mid b\in\mathbb{R}\Bigr\}
no espaço vetorial M(2,2). Para verificar se W é subespaço vetorial, usamos a definição que exige:
  1. O elemento zero de M(2,2) deve pertencer a W.
  2. W ser fechado sob soma de vetores.
  3. W ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do elemento zero: o zero em M(2,2) é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Se existisse b\in\mathbb{R} tal que
\begin{pmatrix}-b & 2\\\ 0 & b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
teríamos da igualdade de entradas que -b=0 e b=0, ok, mas também 2=0, impossível. Logo 0\notin W.

Passo 3

Como nem o zero está em W, W já não satisfaz a condição mínima para ser subespaço. Em particular, nem faz falta checar a soma ou produto por escalar: basta que o zero não pertença a W.

Resposta

W não é subespaço vetorial de M(2,2), portanto não existe conjunto de geradores para W enquanto subespaço.

Exercícios relacionados