Dados os vetores u=(3,2,1), v=(-4,-3,1) e w=(2,1,1), pede-se determinar os escalares lambda, mu, v tais que: lambda u+mu v+v w=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
vec u=(3,2,1), vec v=(-4,-3,1) e vec w=(2,1,1), e pede os escalares lambda,mu,nu tais que
lambda,vec u + mu,vec v + nu,vec w = (0,0,0)
Isso equivale a resolver um sistema linear em lambda,mu,nu, mostrando que a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial.

Passo 2

Traduzindo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
3lambda - 4mu + 2nu = 0
2lambda - 3mu + nu = 0
lambda + mu + nu = 0

Passo 3

Da terceira equação isolamos lambda:
lambda = -,mu - nu

Passo 4

Substituímos lambda=-mu-nu nas duas primeiras:
  1. 3(-mu-nu) - 4mu + 2nu = 0
    ;Rightarrow -3mu -3nu -4mu +2nu = 0
    ;Rightarrow -7mu - nu = 0
    ;Rightarrow 7mu + nu = 0
  2. 2(-mu-nu) - 3mu + nu = 0
    ;Rightarrow -2mu -2nu -3mu + nu = 0
    ;Rightarrow -5mu - nu = 0
    ;Rightarrow 5mu + nu = 0

Passo 5

Subtraindo as duas últimas equações:
(7mu + nu) - (5mu + nu) = 0 ;Rightarrow;2mu = 0 ;Rightarrow;mu = 0
Então de 5mu + nu = 0 vem nu=0, e daí
lambda = -mu - nu = 0

Resposta

lambda = 0,;mu = 0,;nu = 0.

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