Determinar os vetores x e y pertencentes a V^3 que verificam o sistema:
l x+2 y=(0,2,1) y-2 x=(1,2,-1)

Passo 1

Beleza, então a gente tem um sistema de duas equações com vetores em V^3. A missão é encontrar os vetores x e y que satisfazem:
l x+2 y=(0,2,1) y-2 x=(1,2,-1)
Vamos precisar saber como resolver sistemas lineares com vetores e usar um pouquinho de álgebra matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as componentes dos vetores x e y. Seja:
x = (x1, x2, x3)
y = (y1, y2, y3)
Agora, substituímos esses nas equações do sistema.

Passo 3

Vamos expandir a primeira equação:
x + 2y = (0,2,1)
Isso dá:
(x1 + 2y1, x2 + 2y2, x3 + 2y3) = (0,2,1)
Portanto, temos três equações:
x1 + 2y1 = 0 (1)
x2 + 2y2 = 2 (2)
x3 + 2y3 = 1 (3)

Passo 4

Agora, vamos expandir a segunda equação do sistema:
y - 2x = (1,2,-1)
Isso resulta em:
(y1 - 2x1, y2 - 2x2, y3 - 2x3) = (1,2,-1)
Então, mais três equações:
y1 - 2x1 = 1 (4)
y2 - 2x2 = 2 (5)
y3 - 2x3 = -1 (6)

Passo 5

Agora temos um sistema de seis equações com seis incógnitas ( x1, x2, x3, y1, y2, y3). Vamos resolver passo a passo.
Vamos pegar a equação (1):
x1 + 2y1 = 0 Rightarrow x1 = -2y1 (7)
E a equação (4):
y1 - 2x1 = 1
Substituindo x1 da equação (7) na equação (4):
y1 - 2(-2y1) = 1 Rightarrow y1 + 4y1 = 1 Rightarrow 5y1 = 1
Então:
y1 = 15
Usando isso na equação (7):
x1 = -2 times 15 = -25

Passo 6

Agora, vamos para as componentes x2 e y2.
Da equação (2):
x2 + 2y2 = 2 (2)
Da equação (5):
y2 - 2x2 = 2 (5)
Vamos isolar x2 da equação (2):
x2 = 2 - 2y2 (8)
Substituindo na equação (5):
y2 - 2(2 - 2y2) = 2 Rightarrow y2 - 4 + 4y2 = 2 Rightarrow 5y2 = 6
Então:
y2 = 65
E de volta na equação (8):
x2 = 2 - 2 times 65 = 2 - 125 = 105 - 125 = -25

Passo 7

Por último, vamos resolver para x3 e y3.
Da equação (3):
x3 + 2y3 = 1 (3)
Da equação (6):
y3 - 2x3 = -1 (6)
Isolando x3 da equação (3):
x3 = 1 - 2y3 (9)
Substituindo na equação (6):
y3 - 2(1 - 2y3) = -1 Rightarrow y3 - 2 + 4y3 = -1 Rightarrow 5y3 = 1
Então:
y3 = 15
E de volta na equação (9):
x3 = 1 - 2 times 15 = 1 - 25 = 55 - 25 = 35

Resposta

Os vetores que satisfazem o sistema são:
x = (-25, -25, 35)
y = (15, 65, 15)

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