No plano R^2 são dados os pontos O=(0,0), A=(1,2), B=(-2,4), C=(-3,1) e D=(3,5). Se O A, O B, O C e O D representam os vetores a, b, c e d, respectivamente, pede-se a representação geométrica dos vetores: a+b, a-b,(a+b)+c e(a+b)-(c+d).

Passo 1

O enunciado define quatro vetores posicionais em R^2 a partir da origem O:
a=OA, b=OB, c=OC e d=OD.
O objetivo é usar a operação componente a componente para obter as somas e diferenças desses vetores e depois dar a interpretação geométrica (como diagonais de paralelogramos ou regras ponta-a-cabo).

Passo 2

Extraímos as componentes de cada vetor a partir das coordenadas dos pontos:
a=(1,2), pois A=(1,2);
b=(-2,4), pois B=(-2,4);
c=(-3,1), pois C=(-3,1);
d=(3,5), pois D=(3,5).

Passo 3

Calculamos a+b somando as componentes de a e b:
a+b=(1+(-2),,2+4)=(-1,6)
Geometricamente, esse vetor é a diagonal do paralelogramo construído sobre a e b a partir de O, e também pode ser visto como o vetor que vai de O até o ponto (-1,6).

Passo 4

Calculamos a-b subtraindo componente a componente:
a-b=(1-(-2),,2-4)=(3,-2)
Geométricamente, a-b é o vetor que vai de O até (3,-2) e pode ser obtido somando a com o vetor -b=(2,-4) segundo a regra ponta-a-cabo.

Passo 5

Para (a+b)+c somamos primeiro a+b=(-1,6) e depois c=(-3,1):
(a+b)+c=(-1+(-3),,6+1)=(-4,7)
Esse vetor é a diagonal do polígono resultante de “colar” c na ponta de a+b, indo de O até (-4,7).

Passo 6

Finalmente, para (a+b)-(c+d) calculamos primeiro c+d=(-3+3,,1+5)=(0,6) e depois subtraímos de a+b=(-1,6):
(a+b)-(c+d)=(-1-0,,6-6)=(-1,0)
Geometricamente, é o vetor que vai de O até (-1,0), ou seja, um deslocamento unitário de O para a esquerda.

Resposta

a+b=(-1,6) (diagonal do paralelogramo sobre a e b);
a-b=(3,-2) (soma de a com -b);
(a+b)+c=(-4,7) (diagonal do trajeto ponta-a-cabo atobtoc);
(a+b)-(c+d)=(-1,0) (resultado de a+b menos a diagonal de c e d).

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