Dados os vetores u=(1,1,1), v=(0,1,-1), w=(1,0,1) e t=(3,1,3), encontre os valores de alpha1, alpha2 e alpha3 tais que:
alpha1 u+alpha2 v+alpha3 w=t

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem quatro vetores em ℝ³:
u=(1,1,1), v=(0,1,-1), w=(1,0,1), t=(3,1,3)
e pede os escalares alpha1,alpha2,alpha3 tal que
alpha1,u+alpha2,v+alpha3,w ;=; t
Conteúdo: combinação linear de vetores e sistemas lineares.
O que precisamos:
  1. Saber que “combinação linear” significa somar vetores multiplicados por escalares.
  2. Igualar componente a componente para montar um sistema de equações.
  3. Resolver esse sistema (por exemplo, pelo método de substituição).

Passo 2

Começando a “tirar os carros da garagem”:
alpha1(1,1,1)+alpha2(0,1,-1)+alpha3(1,0,1)=(3,1,3)
Pra vetores serem iguais, cada coordenada deve bater:
  1. primeira coordenada: alpha1 + 0cdotalpha2 + alpha3 = 3, ou seja
alpha1 + alpha3 = 3
  1. segunda coordenada: alpha1 + alpha2 + 0cdotalpha3 = 1, ou seja
alpha1 + alpha2 = 1
  1. terceira coordenada: alpha1 - alpha2 + alpha3 = 3.
    Então nosso sistema é
alpha1 + alpha3 = 3, alpha1 + alpha2 = 1, alpha1 - alpha2 + alpha3 = 3

Passo 3

Agora, bora resolver por substituição:
– Da segunda equação temos
alpha2 = 1 - alpha1
– Da primeira equação temos
alpha3 = 3 - alpha1
Substituindo essas duas na terceira equação:
alpha1 - (1-alpha1) + (3-alpha1) = 3
  1. Expande:
alpha1 -1 + alpha1 +3 - alpha1 = 3
  1. Agrupa termos de alpha1 e constantes:
(alpha1 + alpha1 - alpha1) + (-1+3) = alpha1 + 2 = 3
  1. Isola alpha1:
alpha1 = 3 - 2 = 1

Passo 4

Com alpha1=1:
alpha2 = 1 - alpha1 = 1 - 1 = 0,
alpha3 = 3 - alpha1 = 3 - 1 = 2

Resposta

alpha1=1, alpha2=0, alpha3=2

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