Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(e) W=(x, y, z) in R^3 mid a x+b y+c z=0 ; a, b, c in R

Passo 1

O enunciado define
;W=(x,y,z)inR^3mid a,x+b,y+c,z=0,
onde a,b,cinR são constantes fixas.
Para mostrar que W é subespaço de R^3 precisamos verificar três propriedades:
  1. Wneqemptyset (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) está em W, pois
acdot0 + bcdot0 + ccdot0 = 0,
logo (0,0,0)in W e Wneqemptyset.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W.
Isso significa
a,x1 + b,y1 + c,z1 = 0, a,x2 + b,y2 + c,z2 = 0
Então, para u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2),
a(x1+x2) + b(y1+y2) + c(z1+z2) = (a,x1+b,y1+c,z1) + (a,x2+b,y2+c,z2) = 0 + 0 = 0
Logo u+vin W, provando a fechadura sob soma.

Passo 4

Seja lambdainR e u=(x,y,z)in W. Então
a(lambda x) + b(lambda y) + c(lambda z) = lambda,(a,x+b,y+c,z) = lambdacdot 0 = 0,
portanto lambdauin W, mostrando a fechadura sob escalar.

Resposta

Sim. Para quaisquer constantes a,b,c, o conjunto
(x,y,z)inR^3mid a,x+b,y+c,z=0
é um subespaço de R^3.

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