Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
(d)
’
(d)
Passo 1
O enunciado diz que
e define
Queremos ver se
é subespaço de
. Para isso precisamos checar três condições:
-
não é vazio (normalmente verificando se o vetor zero está em ). -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Passo 2
Verificamos o vetor zero:
Aqui
e
, logo
. Portanto
e
.
Passo 3
Verificação de fechamento sob soma. Tomemos
Então
Para
ficar em
precisaríamos
Mas sabemos que a igualdade
vale só se
e
tiverem mesmo sinal. Por exemplo, com
e
temos
logo
. Assim,
não é fechado sob soma.
Passo 4
Verificação de fechamento sob escalares. Seja
e
Então
Para
estar em
precisaríamos
Mas
. Se
e
temos
enquanto
, dando contradição. Logo
também não é fechado sob multiplicação por escalar.