Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(d) W=(x, y, z) in R^3|z=|x|

Passo 1

O enunciado diz que V=R^3 e define
W=(x,y,z)inR^3mid z=|x|
Queremos ver se W é subespaço de V. Para isso precisamos checar três condições:
  1. W não é vazio (normalmente verificando se o vetor zero está em W).
  2. W é fechado sob soma: se u,vin W então u+vin W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se alphainR e uin W então alpha uin W.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
(0,0,0)in W?
Aqui z=0 e |x|=|0|=0, logo 0=|0|. Portanto
(0,0,0)in W
e Wneqemptyset.

Passo 3

Verificação de fechamento sob soma. Tomemos
u=(x1,y1,|x1|), v=(x2,y2,|x2|)
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;|x1|+|x2|)
Para u+v ficar em W precisaríamos
|x1+x2| ;=; |x1|+|x2|
Mas sabemos que a igualdade |a+b|=|a|+|b| vale só se a e b tiverem mesmo sinal. Por exemplo, com x1=1 e x2=-1 temos
|1+(-1)|=0 neq |1|+|-1|=2,
logo u+vnotin W. Assim, W não é fechado sob soma.

Passo 4

Verificação de fechamento sob escalares. Seja alphainR e
u=(x,y,|x|)in W
Então
alpha u=(alpha x,;alpha y,;alpha|x|)
Para alpha u estar em W precisaríamos
alpha|x| = |alpha x|
Mas |alpha x| = |alpha|,|x|. Se alpha<0 e xneq0 temos alpha|x|<0 enquanto |alpha x|>0, dando contradição. Logo W também não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço de V.

Exercícios relacionados