Utilize substituicão por coordenadas cilindricas para calcular integralegral dupla f(x, y, z) d V, onde
f(x, y, z)=1 e E é sólido simultaneamente dentro do cilindro x^2+y^2=1 e da esfera x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral triplaEf(x,y,z),dV
com f(x,y,z)=1 e E sendo a região comum ao cilindro x^2+y^2=1 e à esfera x^2+y^2+z^2=4. Vamos usar coordenadas cilíndricas, em que
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, dV=r,dr,dtheta,dz

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o cilindro impõe
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi,
e a esfera dá
-raiz4-r^2<= z<=raiz4-r^2
Logo
integral triplaE1,dV =integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=-raiz4-r^2^raiz4-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral-raiz4-r^2^raiz4-r^2r,dz =2rraiz4-r^2
Então
integral triplaE1,dV =integral0^2piintegral0^12rraiz4-r^2,dr,dtheta =2piintegral0^12rraiz4-r^2,dr =4piintegral0^1rraiz4-r^2,dr

Passo 4

Para
integral0^1rraiz4-r^2,dr
fazemos u=4-r^2, du=-2r,dr, obtendo
integral0^1rraiz4-r^2,dr =-tfrac12integralu=4^u=3u^1/2,du =-tfrac13l[u^3/2r]4^3 =83-raiz3

Passo 5

Multiplicando por 4pi, vem
integral triplaE1,dV =4pil(83-raiz3r) =32pi3-4piraiz3

Resposta

32pi3-4piraiz3

Exercícios relacionados