Dados os vetores u=(3,-4) e v=(-94, 3) se vetores u pode ser escrito como combinação linear v. O que este resultado indica do ponto de vista geométrico?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u = (3,-4)
e
v = l(-tfrac94,,3r)
e pergunta se existe um escalar c tal que
u = c,v.
O conteúdo envolvido é combinação linear e a ideia de dependência linear (colinearidade) de vetores em R^2.

Passo 2

Para achar c fazemos a igualdade componente a componente. Se u = c,v, então
(3,,-4) = l(ccdot(-tfrac94),;ccdot3r)
Da primeira componente vem
-tfrac94,c = 3 Longrightarrow c = 3;/,l(-tfrac94r) = 3cdotl(-tfrac49r) = -tfrac129 = -tfrac43

Passo 3

Verificando na segunda componente:
3,c = 3cdotl(-tfrac43r) = -4,
que coincide com a segunda componente de u. Logo
u = -tfrac43,v

Passo 4

Geometricamente, encontrar um escalar c tal que u=c,v significa que u e v são colineares, ou seja, apontam na mesma reta passando pela origem (podendo ter sentidos opostos se c<0). Em termos de subespaços, ambos geram a mesma reta em R^2.

Resposta

O fato de u=-tfrac43,v indica que u e v são colineares (linearmente dependentes) e, portanto, estão sobre a mesma reta que passa pela origem.

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