6.2.5. Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo especificado.
(b) x^2-2 z^2+4 z=6 e y=0 em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^2-2z^2+4z=6, y=0
no plano xz e pede a superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x. O conteúdo aqui é “superfície de revolução”: sempre que giramos uma curva z=f(x) (aqui confinada a y=0) em torno de x, introduzimos a coordenada radial
r=raizy^2+z^2
e substituímos z por r na equação da curva.

Passo 2

Definimos
r=raizy^2+z^2
Geometricamente, um ponto (x,0,z0) da curva ao girar gera pontos (x,y,z) tais que r=|z0|, mas na equação implicamos isso fazendo z0mapsto r.

Passo 3

Na equação original
x^2-2z0^2+4z0=6
substituímos z0^2 por r^2 e z0 por r. Assim obtemos
x^2-2r^2+4r=6

Passo 4

Voltando a coordenadas y,z, lembramos que r^2=y^2+z^2. Logo a equação da superfície de revolução é
x^2-2l(y^2+z^2r)+4raizy^2+z^2=6

Resposta

boxedx^2-2l(y^2+z^2r)+4raizy^2+z^2=6

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