Seja A: R^2 R^2 a projeção sobre o eixo x, paralelamente à reta y=a x(a neq 0). Isto significa que, para todo v=(x, y), temse A v=(x^prime, 0), tal que v-A v pertence à reta y=a x. Exprima x^prime em função de x e y e escreva a matriz de A relativamente à base canônica de R^2.

Passo 1

O enunciado define uma projeção linear AcolonR^2toR^2 que envia
v=(x,y)
no ponto
A v=(x',0)
de modo que o vetor diferença v - A v fica sobre a reta y=a x.
O conteúdo aqui é projeção paralela e vamos usar a condição de pertencimento à reta para achar x' em função de x e y, depois montar a matriz de A na base canônica.

Passo 2

A condição v - A vin(t,at)mid tinR significa que
v - A v = (x,y) - (x',0) = (x - x',,y)
satisfaz a equação da reta y = a x. Portanto,
y ;=; a,(x - x'),

Passo 3

Resolvendo para x', temos
y = a(x - x') Longrightarrow x - x' = ya Longrightarrow x' = x - ya
Logo, a projeção é
A(x,y) = l(x - tfracya,,0r)

Passo 4

Para achar a matriz de A na base canônica e1,e2, basta ver como A age nos vetores (1,0) e (0,1):
A(1,0) = l(1 - 0,;0r) = (1,0), A(0,1) = l(0 - tfrac1a,;0r) = l(-tfrac1a,0r)
Portanto a matriz de A é
1 & -tfrac1a [6pt] 0 & 0 ]

Resposta

A projeção é
A(x,y)=l(x - tfracya,,0r)
e sua matriz na base canônica é
1 & -tfrac1a [6pt] 0 & 0 ]

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