Encontrar o volume do tetraedro de vértices nos pontos P(1,2,0), Q(2,1,3), R(1,1,1) e S(3,2,3).

Passo 1

O enunciado quer o volume de um tetraedro em R^3 cujos vértices são P(1,2,0), Q(2,1,3), R(1,1,1), S(3,2,3) Isso cai na matéria de produto misto (determinante) e volume de tetraedro. Vamos usar a fórmula do volume em termos do determinante formado por três vetores que saem de um mesmo vértice.

Passo 2

Escolhemos o vértice P como referência e formamos os vetores PQ, PR, PS:
PQ = Q - P = (2-1,;1-2,;3-0) = (1,-1,3)
PR = R - P = (1-1,;1-2,;1-0) = (0,-1,1)
PS = S - P = (3-1,;2-2,;3-0) = (2,0,3)

Passo 3

Agora calculamos o determinante das colunas formadas por esses vetores, pois o valor absoluto desse determinante dividido por 6 dá o volume do tetraedro:
det 1 & -1 & 3 0 & -1 & 1 2 & 0 & 3
Expandindo pela primeira linha:
= 1l((-1)cdot3 - 1cdot0r) -(-1)l(0cdot3 - 1cdot2r) +3l(0cdot0 - (-1)cdot2r) = 1cdot(-3) -(-1)cdot(-2) +3cdot2 = -3 - 2 + 6 = 1

Passo 4

O volume V do tetraedro é o valor absoluto desse determinante dividido por 6:
V = |1|6 = 16

Resposta

tfrac16)

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