Determine a matriz A=\left(a_{i j}\right), 3 \times 4 tal que a_{i j}=\left\{\begin{aligned} 2 i-3 j, & \text { se } i<j \\\ i^{2}+2 j, & \text { se } i=j \\\\ -3 i+4 j, & \text { se } i>j\end{aligned}\right..

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz A=(a_{ij})\) de dimensão \(3\times4\) dada por uma definição por partes: \[a_{ij}=\begin{cases} 2i-3j, & \text{se } i<j,\\[4pt] i^{2}+2j, & \text{se } i=j,\\[4pt] -3i+4j, & \text{se } i>j. \end{cases}
Informações relevantes que já temos:
  • A matriz tem 3\] linhas e \(4 colunas, portanto i\in\{1,2,3\} e j\in\{1,2,3,4\}.
  • Para cada par (i,j) devemos comparar i e j e aplicar a fórmula correspondente.
  • A tarefa é calcular explicitamente todos os 3\times4=12 elementos a_{ij} e apresentar a matriz.]

Passo 2

Comentário rápido sobre a estratégia (sem resolver ainda): para cada linha i vou percorrer as colunas j e, dependendo se i<j, i=j ou i>j, vou usar a expressão indicada. Explico como interpretar as fórmulas:
  • Em \,2i-3j: multiplicar i por 2 e j por 3 e subtrair; é usada quando i<j.
  • Em \,i^{2}+2j: elevar i ao quadrado e somar 2 vezes j; é usada quando i=j.
  • Em -3i+4j: multiplicar i por -3 e j por 4 e somar; é usada quando i>j.
    Vou calcular explicitamente todos os a_{ij} linha a linha, mostrando as contas passo a passo.

Passo 3

Cálculos para a primeira linha ( i=1), variando j=1,2,3,4.
  • Para j=1: temos i=j. Aplicando \,i^{2}+2j:
a_{11}=1^{2}+2\cdot1=1+2=3.
  • Para j=2: i<j. Aplicando \,2i-3j:
a_{12}=2\cdot1-3\cdot2=2-6=-4.
  • Para j=3: i<j. Aplicando \,2i-3j:
a_{13}=2\cdot1-3\cdot3=2-9=-7.
  • Para j=4: i<j. Aplicando \,2i-3j:
a_{14}=2\cdot1-3\cdot4=2-12=-10.
(Resumo da primeira linha: os elementos calculados são a_{11}=3, a_{12}=-4, a_{13}=-7, a_{14}=-10.)

Passo 4

Cálculos para a segunda linha ( i=2), variando j=1,2,3,4.
  • Para j=1: i>j. Aplicando -3i+4j:
a_{21}=-3\cdot2+4\cdot1=-6+4=-2.
  • Para j=2: i=j. Aplicando i^{2}+2j:
a_{22}=2^{2}+2\cdot2=4+4=8.
  • Para j=3: i<j. Aplicando 2i-3j:
a_{23}=2\cdot2-3\cdot3=4-9=-5.
  • Para j=4: i<j. Aplicando 2i-3j:
a_{24}=2\cdot2-3\cdot4=4-12=-8.
(Resumo da segunda linha: a_{21}=-2, a_{22}=8, a_{23}=-5, a_{24}=-8.)

Passo 5

Cálculos para a terceira linha ( i=3), variando j=1,2,3,4.
  • Para j=1: i>j. Aplicando -3i+4j:
a_{31}=-3\cdot3+4\cdot1=-9+4=-5.
  • Para j=2: i>j. Aplicando -3i+4j:
a_{32}=-3\cdot3+4\cdot2=-9+8=-1.
  • Para j=3: i=j. Aplicando i^{2}+2j:
a_{33}=3^{2}+2\cdot3=9+6=15.
  • Para j=4: i<j. Aplicando 2i-3j:
a_{34}=2\cdot3-3\cdot4=6-12=-6.
(Resumo da terceira linha: a_{31}=-5, a_{32}=-1, a_{33}=15, a_{34}=-6.)

Passo 6

Agora já temos todos os 12 elementos a_{ij} calculados individualmente. Está pronto para escrever a matriz A com essas entradas (a matriz final será mostrada na seção de resposta).

Resposta

A=\begin{pmatrix} 3 & -4 & -7 & -10\\[4pt] -2 & 8 & -5 & -8\\[4pt] -5 & -1 & 15 & -6 \end{pmatrix}]

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