Dados os vetores V1 =(1,0,1) V2 =(0,1,1), determine o ângulo entre eles

Passo 1

Beleza, temos dois vetores: V₁ = (1, 0, 1) e V₂ = (0, 1, 1). O objetivo aqui é encontrar o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores A = (a₁, a₂, a₃) e B = (b₁, b₂, b₃), o produto escalar é dado por:
A cdot B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Vamos calcular isso para V₁ e V₂:
V₁ cdot V₂ = (1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1

Passo 3

Agora, precisamos das normas (ou módulos) dos vetores V₁ e V₂. A norma de um vetor A = (a₁, a₂, a₃) é calculada por:
|A| = raiza₁² + a₂² + a₃² ²²²
Vamos calcular as normas:
Para V₁:
|V₁| = raiz1² + 0² + 1² = raiz1 + 0 + 1 = raiz2 ²²²
Para V₂:
|V₂| = raiz0² + 1² + 1² = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 ²²²

Passo 4

Com o produto escalar e as normas em mãos, podemos usar a fórmula que relaciona esses valores com o cosseno do ângulo θ entre os vetores:
V₁ cdot V₂ = |V₁| cdot |V₂| cdot cosθ
Substituindo os valores que calculamos:
1 = raiz2 cdot raiz2 cdot cosθ
Sabemos que raiz2 cdot raiz2 = 2, então:
1 = 2 cdot cosθ

Passo 5

Agora, isolamos o cosseno do ângulo:
cosθ = 12
Para encontrar o ângulo θ, usamos a função arco cosseno:
θ = arccos(12)
Sabemos que arccos(12) = 60^circ.

Resposta

O ângulo entre os vetores V₁ e V₂ é de 60 graus.

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