Dados os vetores V1 =(1,2,3) V2 =(4,5,6), determine a projeção de V1 sobre V2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a projeção do vetor V₁ = (1, 2, 3) sobre o vetor V₂ = (4, 5, 6). Isso faz parte da matéria de álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a projeção de um vetor sobre outro usando produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor sobre outro. Projeção significa encontrar quanto de um vetor está “apontando” na direção do outro. A fórmula para a projeção de V₁ sobre V₂ é:
ProjV2 V1 = ( V1 cdot V2|V2|^2 ) V2
Aqui, representa o produto escalar e |V₂| é o módulo (ou comprimento) do vetor V₂.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de V₁ e V₂:
V1 cdot V2 = (1 times 4) + (2 times 5) + (3 times 6) = 4 + 10 + 18 = 32

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de V₂ ao quadrado:
|V2|^2 = 4^2 + 5^2 + 6^2 = 16 + 25 + 36 = 77

Passo 5

Com esses valores, podemos encontrar o coeficiente que multiplica o vetor V₂ na fórmula da projeção:
V1 cdot V2|V2|^2 = 3277

Passo 6

Finalmente, multiplicamos esse coeficiente pelo vetor V₂ para obter a projeção:
ProjV2 V1 = ( 3277 ) times (4, 5, 6) = ( 12877, 16077, 19277 )

Resposta

A projeção de V₁ sobre V₂ é:
ProjV2 V1 = ( 12877, 16077, 19277 )

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