Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Defina e exemplifique subespaço gerado pelos vetores v1, ldots, vn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre teoria de espaços vetoriais, especificamente pedindo para definir e dar um exemplo de subespaço gerado pelos vetores v1, ldots, vn . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são espaços vetoriais, subespaços e como gerar um subespaço usando alguns vetores.

Passo 2

Primeiro, bora relembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde você pode fazer adições e multiplicações por escalar que continuam dentro desse conjunto. Por exemplo, o conjunto de todos os vetores no plano R^2 é um espaço vetorial.

Passo 3

Agora, um subespaço é como um “espaço menor” dentro de um espaço vetorial. Ele também precisa ser fechado sob as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se você pegar dois vetores dentro desse subespaço e somar, o resultado ainda está no subespaço. O mesmo vale para multiplicar um vetor do subespaço por qualquer escalar.

Passo 4

Quando falamos sobre o subespaço gerado pelos vetores v1, ldots, vn , estamos nos referindo a todos os possíveis vetores que você pode formar combinando esses vetores através de adições e multiplicações por escalares. Matematicamente, isso é representado por:
Subespaço = alpha1v1 + alpha2v2 + cdots + alphanvn mid alpha1, alpha2, ldots, alphan in R ç
Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v1, ldots, vn .

Passo 5

Vamos ver um exemplo prático. Imagine que temos dois vetores em R^3 :
v1 = 1 0 0 , v2 = 0 1 0
O subespaço gerado por v1 e v2 seria todos os vetores que podem ser formados por alpha v1 + beta v2 , onde alpha e beta são números reais. Isso significa que:
alpha 1 0 0 + beta 0 1 0 = alpha beta 0
Então, o subespaço gerado por v1 e v2 é o plano z = 0 no espaço R^3 .

Resposta

Um subespaço gerado pelos vetores v1, ldots, vn é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores, ou seja:
alpha1v1 + alpha2v2 + cdots + alphanvn mid alpha1, alpha2, ldots, alphan in R
Exemplo: No espaço R^3 , os vetores v1 = 1 0 0 e v2 = 0 1 0 geram o plano z = 0 , que é o conjunto de todos os vetores da forma alpha beta 0 .

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