Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Prove que
é subespaço vetorial do espaço vetorial
.
Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
. Isso está dentro da matéria de espaços vetoriais, que estudam conjuntos de vetores que obedecem certas regras. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esse conjunto satisfaz as três condições fundamentais para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse conjunto representa todas as combinações lineares dos vetores
, ou seja, todos os vetores que podem ser escritos como:
onde
são escalares (números reais, por exemplo).
Passo 3
Agora, vamos verificar a primeira condição: o conjunto contém o vetor zero. Se colocarmos todos os coeficientes
iguais a zero, temos:
Portanto, o vetor zero está no conjunto
.
Passo 4
A segunda condição é que o conjunto seja fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto, sua soma também deve estar no conjunto. Suponha que temos dois vetores:
A soma deles é:
Como os coeficientes
são escalares,
também está no conjunto
.
Passo 5
A terceira condição é que o conjunto seja fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor do conjunto e multiplicarmos por um escalar, o resultado também deve estar no conjunto. Tomemos um vetor:
E um escalar
. A multiplicação por
é:
Novamente, os coeficientes
são escalares, então
também pertence ao conjunto
.
Resposta
Concluímos que o conjunto
satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de
, ou seja, contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto,
é realmente um subespaço vetorial do espaço vetorial
.