Dados os vetores v1=(3,1,0), v2=(3,0,2) e v3=(0,5,-5), pe-de-se achar um vetor u coplanar com v1 e v2 e ortogonal a v3.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
vec v1=(3,1,0), vec v2=(3,0,2) e vec v3=(0,5,-5).
Queremos vec u que seja coplanar a vec v1 e vec v2 (ou seja, vec u está no span vec v1,vec v2) e ao mesmo tempo ortogonal a vec v3 (ou seja, vec ucdotvec v3=0).

Passo 2

Como vec u é coplanar a vec v1 e vec v2, escrevemos
vec u = a,vec v1 + b,vec v2
para alguns escalares a,b. A condição de ortogonalidade vec ucdotvec v3=0 vira
(a,vec v1 + b,vec v2)cdotvec v3 = a,(vec v1cdotvec v3) + b,(vec v2cdotvec v3) =0
Agora calculamos os produtos escalares:
vec v1cdotvec v3 = (3,1,0)cdot(0,5,-5) =3cdot0 + 1cdot5 + 0cdot(-5) =5,
vec v2cdotvec v3 = (3,0,2)cdot(0,5,-5) =3cdot0 + 0cdot5 + 2cdot(-5) =-10
Logo a condição vira
5a + (-10)b = 0 Longrightarrow a - 2b = 0 Longrightarrow a = 2b

Passo 3

Escolhendo b=1 (qualquer outro valor só escala a resposta), temos a=2. Logo
vec u = 2,vec v1 + 1,vec v2 = 2,(3,1,0) + (3,0,2) = (6,2,0) + (3,0,2) = (9,2,2)

Resposta

Um possível vetor que satisfaz é vec u=(9,2,2).

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