Dados os vetores que variam com o tempo
e
. Encontre
e
d(A times B) / d t
Passo 1
Resumo do enunciado:
A gente tem dois vetores que dependem do tempo:
A gente tem dois vetores que dependem do tempo:
O que pedem:
-
. -
.
Conteúdo necessário:
- Regra do produto escalar:
. - Regra do produto vetorial:
. - Saber derivar seno, cosseno e potências de
.
Passo 2
Calcular as derivadas de
overrightarrow A(t)=l(cos(omega t),,sin(omega t),,0r) Longrightarrow overrightarrow A'(t)=l(-omegasin(omega t),,omegacos(omega t),,0r) e
overrightarrow B(t)=l(t,,t^2,,t^3r) Longrightarrow overrightarrow B'(t)=l(1,,2t,,3t^2r) :
Passo 3
Agora usamos a regra do produto escalar:
Calculemos cada parte:
ddt(Acdot B) = -omega tsin(omega t) + omega t^2cos(omega t) + cos(omega t) + 2tsin(omega t) .
Somando:
Somando:
A gente pode reorganizar um pouquinho, mas esse já é o resultado do passo.
Passo 4
Agora o produto vetorial e sua derivada pela regra
A'=( -omegasin,;omegacos,;0 ), B=( t,;t^2,;t^3 ) .
- Primeiro
:A=(cos,;sin,;0), B'=(1,;2t,;3t^2)
- Depois
:
Somando componente a componente:
[
\frac d{dt}(A\times B)
]
Resposta
-
ddt(overrightarrow Atimes overrightarrow B) = hatimathl[3t^2sin(omega t)+omega t^3cos(omega t)r] +hatjmathl[omega t^3sin(omega t)-3t^2cos(omega t)r] +hat kl[2tcos(omega t)-sin(omega t)-omega tcos(omega t)-omega t^2sin(omega t)r] -