Dados os vetores que variam com o tempo overrightarrowA=imath cos omega t+jmath sen omega t e B=t imath+t^2 jmath+t^3 k. Encontre
d(A cdot B) / d t e d(A times B) / d t

Passo 1

Resumo do enunciado:
A gente tem dois vetores que dependem do tempo:
overrightarrow A(t)=hatimathcos(omega t)+hatjmathsin(omega t), overrightarrow B(t)=t,hatimath + t^2,hatjmath + t^3,hat k
O que pedem:
  1. .
  2. .
Conteúdo necessário:
  • Regra do produto escalar: .
  • Regra do produto vetorial: .
  • Saber derivar seno, cosseno e potências de .

Passo 2

Calcular as derivadas de overrightarrow A(t)=l(cos(omega t),,sin(omega t),,0r) Longrightarrow overrightarrow A'(t)=l(-omegasin(omega t),,omegacos(omega t),,0r) e overrightarrow B(t)=l(t,,t^2,,t^3r) Longrightarrow overrightarrow B'(t)=l(1,,2t,,3t^2r) :

Passo 3

Agora usamos a regra do produto escalar:
ddt(overrightarrow Acdotoverrightarrow B) =overrightarrow A'cdotoverrightarrow B +overrightarrow Acdotoverrightarrow B'
Calculemos cada parte:
ddt(Acdot B) = -omega tsin(omega t) + omega t^2cos(omega t) + cos(omega t) + 2tsin(omega t) .

Somando:
A gente pode reorganizar um pouquinho, mas esse já é o resultado do passo.

Passo 4

Agora o produto vetorial e sua derivada pela regra
A'=( -omegasin,;omegacos,;0 ), B=( t,;t^2,;t^3 ) .
  1. Primeiro A=(cos,;sin,;0), B'=(1,;2t,;3t^2) :
ddt(Atimes B) = hatimath:;3t^2sin(omega t)+omega t^3cos(omega t), hatjmath:;omega t^3sin(omega t)-3t^2cos(omega t), hat k:;[2tcos(omega t)-sin(omega t)] ;+;[-omega t^2sin(omega t)-omega tcos(omega t)]
  1. Depois :

Somando componente a componente:
[
\frac d{dt}(A\times B)


]

Resposta

  1. ddt(overrightarrow Atimes overrightarrow B) = hatimathl[3t^2sin(omega t)+omega t^3cos(omega t)r] +hatjmathl[omega t^3sin(omega t)-3t^2cos(omega t)r] +hat kl[2tcos(omega t)-sin(omega t)-omega tcos(omega t)-omega t^2sin(omega t)r]

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