Resolva as integrais triplas:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} x \cos (y) d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\int_{y=0}^{\pi/4}\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{x^2}x\cos(y)\,dz\,dx\,dy.
O conteúdo é aplicação de integrais iteradas em um produto de funções separáveis em z, x e y. Vamos integrar primeiro em z, depois em x e por fim em y.

Passo 2

Como x\cos(y) não depende de z, temos
\int_{0}^{x^2}x\cos(y)\,dz =x\cos(y)\int_{0}^{x^2}dz =x\cos(y)\bigl[z\bigr]_{0}^{x^2} =x\cos(y)\,x^2 =x^3\cos(y).

Passo 3

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x^3\cos(y)\,dx =\cos(y)\int_{0}^{1}x^3\,dx =\cos(y)\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4}\cos(y).

Passo 4

Por fim, integramos em y de 0 a \pi/4:
\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{4}\cos(y)\,dy =\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/4}\cos(y)\,dy =\frac{1}{4}\bigl[\sin(y)\bigr]_{0}^{\pi/4} =\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{\sqrt{2}}{8}.

Resposta

\frac{\sqrt{2}}{8}.

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