Sabendo que |\vec{a}|=3,|\vec{b}|=3 e 45^{0} é o ângulo entre os vetores, calcular |\vec{a} \times \vec{b}|

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados fornecidos (pego diretamente do enunciado):
    • |\vec{a}| = 3,
    • |\vec{b}| = 3,
    • o ângulo entre os vetores é 45^\circ.
  • Pergunta: calcular |\vec{a}\times\vec{b}|, isto é, a magnitude (módulo) do produto vetorial entre \vec{a} e \vec{b}.

Passo 2

Fórmula útil e o que cada símbolo significa.
  • A fórmula para a magnitude do produto vetorial é
|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\;|\vec{b}|\;\sin\theta,
onde:
  • |\vec{a}\times\vec{b}| é o módulo do vetor resultante do produto vetorial,
  • |\vec{a}| e |\vec{b}| são os módulos (comprimentos) dos vetores \vec{a} e \vec{b},
  • \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b},
  • \sin\theta é a razão seno do ângulo \theta.
  • Intuição/justificativa curta (uma “aula rápida”): geometricamente, |\vec{a}\times\vec{b}| é a área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}. A área é base vezes altura; tomando |\vec{a}| como base, a altura relativa é |\vec{b}|\sin\theta, daí surge a fórmula acima.

Passo 3

Aplicar a fórmula com os dados conhecidos.
  • Substituindo |\vec{a}|=3, |\vec{b}|=3 e \theta=45^\circ na fórmula:
|\vec{a}\times\vec{b}| = 3\cdot 3 \cdot \sin 45^\circ = 9\sin 45^\circ.

Passo 4

Calcular \sin 45^\circ.
  • Num triângulo retângulo isósceles 45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ, os catetos têm a mesma medida e a hipotenusa é \sqrt{2} vezes um cateto. Assim
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Combinar o resultado do seno com a expressão obtida.
  • Substituindo \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} em 9\sin 45^\circ obtém-se a forma exata final.

Resposta

\dfrac{9\sqrt{2}}{2}

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