Dados vetores \vec{u} e \vec{v} constantes, determine os vetores \vec{x} e \vec{y} (em termos de \vec{u} e \vec{v} ) tais que
\left\{\begin{aligned} 4 \vec{x}-3 \vec{y} & =4 \vec{u} \\ 5 \vec{x}-4 \vec{y} & =-5 \vec{u}+3 \vec{v} \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em vetores \vec{x}\) e \(\vec{y}\), com vetores constantes \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\): \[\begin{cases} 4\vec{x}-3\vec{y}=4\vec{u},\\\\ 5\vec{x}-4\vec{y}=-5\vec{u}+3\vec{v}. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistema (2\times2] por eliminação, tratando cada componente por igual.

Passo 2

Para eliminar \vec{x}, igualamos os coeficientes multiplicando a primeira equação por 5 e a segunda por 4:
5\bigl(4\vec{x}-3\vec{y}\bigr)=5\cdot4\vec{u} \quad\Longrightarrow\quad 20\vec{x}-15\vec{y}=20\vec{u},
4\bigl(5\vec{x}-4\vec{y}\bigr)=4\bigl(-5\vec{u}+3\vec{v}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 20\vec{x}-16\vec{y}=-20\vec{u}+12\vec{v}.

Passo 3

Subtraindo a segunda dessas duas para eliminar 20\vec{x}:
(20\vec{x}-15\vec{y})-(20\vec{x}-16\vec{y}) =20\vec{u}-\bigl(-20\vec{u}+12\vec{v}\bigr),
o que dá
\vec{y}=40\vec{u}-12\vec{v}.

Passo 4

Agora substituímos \vec{y} na primeira equação original 4\vec{x}-3\vec{y}=4\vec{u}:
4\vec{x}-3\bigl(40\vec{u}-12\vec{v}\bigr)=4\vec{u} \quad\Longrightarrow\quad 4\vec{x}-120\vec{u}+36\vec{v}=4\vec{u},
4\vec{x}=124\vec{u}-36\vec{v} \quad\Longrightarrow\quad \vec{x}=31\vec{u}-9\vec{v}.

Resposta

\displaystyle \vec{x}=31\vec{u}-9\vec{v},\quad \vec{y}=40\vec{u}-12\vec{v}.

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