Determine uma equação para a reta no plano que é paralela ao vetor \vec{v}=(2,-2) e que passa pelo ponto P_{0}=(-2,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta no plano que é paralela ao vetor \vec v=(2,-2) e que passa pelo ponto P_{0}=(-2,1). Para isso precisamos usar a forma paramétrica ou ponto-inclinação de uma reta: o vetor direção dá a inclinação e o ponto dá a posição.

Passo 2

Do vetor direção \vec v=(2,-2) extraímos a inclinação (coeficiente angular)
m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-2}{2} = -1.
Uma forma paramétrica da reta é
\begin{cases} x = -2 + 2t,\\\ y = 1 - 2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para passar à forma ponto-inclinação, usamos
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(-2,1) e m=-1. Assim,
y - 1 = -1\,(x + 2).

Passo 4

Bastachear e reorganizar para obter a forma explicita e a forma geral:
y - 1 = -x - 2 \quad\Longrightarrow\quad y = -x - 1,
ou equivalentemente
x + y + 1 = 0.

Resposta

A equação da reta é
y = -x - 1.

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