Dados os vetores vec{a}=(-1,1,2) e vec{b}=(2,0,4), determine o vetor vec{v} tal que
\frac{2 \vec{v}}{3}-[2(\vec{v}+\vec{a})-\vec{b}]=\frac{\vec{a}-\vec{v}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vetor \vec{v} que satisfaz a equação
\frac{2\vec{v}}{3}-\bigl[\,2(\vec{v}+\vec{a})-\vec{b}\bigr] =\frac{\vec{a}-\vec{v}}{2},
sabendo que \vec{a}=(-1,1,2) e \vec{b}=(2,0,4).
Conteúdo: álgebra de vetores e resolução de equação vetorial.

Passo 2

Primeiro, expandimos o colchete do lado esquerdo:
\frac{2}{3}\vec{v}-\bigl[2\vec{v}+2\vec{a}-\vec{b}\bigr] =\frac{\vec{a}-\vec{v}}{2}
fica
\frac{2}{3}\vec{v}-2\vec{v}-2\vec{a}+\vec{b} =\frac{\vec{a}-\vec{v}}{2}.

Passo 3

Agora agrupamos os termos em \vec{v}, \vec{a} e \vec{b}. Note que \frac{2}{3}\vec{v}-2\vec{v}=-\frac{4}{3}\vec{v} e que \frac{\vec{a}-\vec{v}}{2}=\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{v}.
Então a equação vira
-\frac{4}{3}\vec{v}-2\vec{a}+\vec{b} =\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{v}.
Passamos tudo para o lado esquerdo:
-\frac{4}{3}\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{v} -2\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{a} +\vec{b}=0.
Isso simplifica para
-\frac{5}{6}\vec{v}-\frac{5}{2}\vec{a}+\vec{b}=0.

Passo 4

Isolamos \vec{v}:
-\frac{5}{6}\vec{v} =\frac{5}{2}\vec{a}-\vec{b} \quad\Longrightarrow\quad \vec{v} =\frac{6}{5}\Bigl(\frac{5}{2}\vec{a}-\vec{b}\Bigr) =-3\,\vec{a}+\frac{6}{5}\,\vec{b}.

Passo 5

Finalmente, substituímos \vec{a}=(-1,1,2) e \vec{b}=(2,0,4):
-3\,\vec{a}=(3,-3,-6), \qquad \frac{6}{5}\,\vec{b}=\Bigl(\tfrac{12}{5},0,\tfrac{24}{5}\Bigr),
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\vec{v} =(3+\tfrac{12}{5},\,-3+0,\,-6+\tfrac{24}{5}) =\Bigl(\tfrac{27}{5},\,-3,\,-\tfrac{6}{5}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \vec{v}=\Bigl(\tfrac{27}{5},\,-3,\,-\tfrac{6}{5}\Bigr).

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