Dados os vetores vec{A} e vec{B} expressos em coordenadas cartesianas:
\vec{A}=-\hat{\imath}+5 \hat{\jmath}-\hat{k} \text { e } \vec{B}=4 \hat{\imath}+5 \hat{\jmath}-2 \hat{k}
Determine vec{R} tal que:
vec{A} \times vec{B}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{A} e \vec{B} em coordenadas cartesianas e pede para determinar \vec{R} tal que \vec{R}=\vec{A}\times\vec{B}. Informações dadas:
\vec{A}=-\hat{\imath}+5\hat{\jmath}-\hat{k}
\vec{B}=4\hat{\imath}+5\hat{\jmath}-2\hat{k}
Portanto precisamos calcular o produto vetorial \vec{A}\times\vec{B}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula prática para o produto vetorial entre dois vetores em coordenadas:
\vec{A}\times\vec{B}=(A_yB_z-A_zB_y)\,\hat{\imath}+(A_zB_x-A_xB_z)\,\hat{\jmath}+(A_xB_y-A_yB_x)\,\hat{k}.
Aqui \,A_x,A_y,A_z são as componentes de \vec{A} nas direções \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} respectivamente, e análogo para \vec{B}. Essa fórmula vem da expansão do determinante com a linha dos vetores unitários e é a forma que usamos para calcular componente a componente.

Passo 3

Identificamos as componentes dos vetores dados:
A_x=-1,\quad A_y=5,\quad A_z=-1,
B_x=4,\quad B_y=5,\quad B_z=-2.

Passo 4

Calculamos a componente na direção \hat{\imath}:
R_x=A_yB_z-A_zB_y=5\cdot(-2)-(-1)\cdot5.
Fazendo as contas passo a passo:
5\cdot(-2)=-10,
(-1)\cdot5=-5,
R_x=-10-(-5)=-10+5=-5.

Passo 5

Calculamos a componente na direção \hat{\jmath}:
R_y=A_zB_x-A_xB_z=(-1)\cdot4-(-1)\cdot(-2).
Passo a passo:
(-1)\cdot4=-4,
(-1)\cdot(-2)=2,
R_y=-4-2=-6.

Passo 6

Calculamos a componente na direção \hat{k}:
R_z=A_xB_y-A_yB_x=(-1)\cdot5-5\cdot4.
Passo a passo:
(-1)\cdot5=-5,
5\cdot4=20,
R_z=-5-20=-25.

Passo 7

Juntando as componentes, obtemos o vetor resultado:
\vec{R}=-5\hat{\imath}-6\hat{\jmath}-25\hat{k}.
Em forma de coordenadas: \vec{R}=\langle -5,-6,-25\rangle.

Passo 8

Para checar rapidamente que o cálculo está correto, verificamos que \vec{R} é ortogonal a \vec{A} e a \vec{B} calculando os produtos internos:
\vec{R}\cdot\vec{A}=(-5)(-1)+(-6)(5)+(-25)(-1)=5-30+25=0,
\vec{R}\cdot\vec{B}=(-5)(4)+(-6)(5)+(-25)(-2)=-20-30+50=0.
Como os dois produtos escalar são zero, \vec{R} é de fato perpendicular a \vec{A} e a \vec{B}, o que confirma nosso resultado.

Resposta

\vec{R}=-5\hat{\imath}-6\hat{\jmath}-25\hat{k}

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