Duas cargas puntiformes, Q_{1}=250 \mu C e Q_{2}=-300 \mu C, estão, no vácuo, localizadas, respectivamente, em (5,0,0) \mathrm{m} e (0,0,-5) \mathrm{m}. Calcule a força de Q_{1} sobre Q_{2}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a força de Q_{1} sobre Q_{2}.
Dados fornecidos:
  • Q_{1}=250\\ \mu\mathrm{C} (localizada em (5,0,0)\\ \mathrm{m});
  • Q_{2}=-300\\ \mu\mathrm{C} (localizada em (0,0,-5)\\ \mathrm{m});
  • meio: vácuo (portanto usaremos a constante eletrostática do vácuo).

Passo 2

Princípio físico utilizado (explicação didática): usamos a lei de Coulomb em forma vetorial. A força sobre a carga i devido à carga j é dada por
\mathbf{F}_{i} = k\,\frac{Q_{i}Q_{j}}{|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{3}}(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}),
onde
  • k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} é a constante eletrostática do vácuo (valor aproximado \;k=8,98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}),
  • Q_{i} e Q_{j} são as cargas (em coulomb),
  • \mathbf{r}_{i} e \mathbf{r}_{j} são os vetores posição das cargas,
  • |\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}| é a distância entre as cargas,
  • o fator vetorial (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j})/|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}| é o versor (direção) que aponta de j para i.
    Observação importante sobre o sinal: se Q_{i}Q_{j}>0 a força é repulsiva (aponta de j para i); se Q_{i}Q_{j}<0 a força é atrativa (aponta de i em direção a j). Aqui queremos a força de Q_{1} sobre Q_{2}, ou seja \mathbf{F}_{2} com i=2 e j=1.

Passo 3

Convertemos as cargas para coulomb:
Q_{1}=250\\ \mu\mathrm{C}=250\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=2,50\times10^{-4}\\ \mathrm{C},
Q_{2}=-300\\ \mu\mathrm{C}=-300\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=-3,00\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Produto das cargas:
Q_{1}Q_{2}=(2,50\times10^{-4})(-3,00\times10^{-4})=-7,50\times10^{-8}\\ \mathrm{C^{2}}.
O sinal negativo indica que a interação é atrativa.

Passo 4

Calculamos o vetor separação \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} e a distância entre as cargas:
\mathbf{r}_{1}=(5,0,0)\\ \mathrm{m},\qquad \mathbf{r}_{2}=(0,0,-5)\\ \mathrm{m},
\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}=(0-5,\,0-0,\,-5-0)=(-5,\,0,\,-5)\\ \mathrm{m}.
Distância:
r=|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}|=\sqrt{(-5)^{2}+0^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
Versor (unitário) na direção de \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}:
\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}}{r}=\frac{(-5,0,-5)}{5\sqrt{2}}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Coulomb para \mathbf{F}_{2} (força sobre Q_{2} devido a Q_{1}):
\mathbf{F}_{2}=k\,\frac{Q_{2}Q_{1}}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.
Calculamos r^{2} e a magnitude escalar:
r^{2}=50\\ \mathrm{m^{2}},
\text{magnitud\_esc} = k\,\frac{|Q_{1}Q_{2}|}{r^{2}} = (8,98755179\times10^{9})\frac{7,50\times10^{-8}}{50}.
Simplificando a fração:
\frac{7,50\times10^{-8}}{50}=1,50\times10^{-9},
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\text{magnitud\_esc}=8,98755179\times10^{9}\times1,50\times10^{-9}=13,481327685\\ \mathrm{N}.
O produto Q_{1}Q_{2} é negativo, portanto o vetor força será na direção oposta a \hat{\mathbf{r}} (isto é, aponta de Q_{2} para Q_{1}, como esperado para atração). Podemos usar a magnitude com sinal: k\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}=-13,481327685\\ \mathrm{N} multiplicado por \hat{\mathbf{r}}.

Passo 6

Calculamos agora as componentes vetoriais:
\mathbf{F}_{2}=\left(k\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}\right)\hat{\mathbf{r}}.
Substituindo \hat{\mathbf{r}}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e o fator escalar k\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}=-13,481327685\\ \mathrm{N},
\mathbf{F}_{2} = -13,481327685 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ \mathrm{N}.
Multiplicando o sinal negativo pelos componentes:
\mathbf{F}_{2}=\left(\frac{13,481327685}{\sqrt{2}},\,0,\;\frac{13,481327685}{\sqrt{2}}\right)\\ \mathrm{N}.
Calculando numericamente \dfrac{13,481327685}{\sqrt{2}}\approx9,535533906\\ \mathrm{N}. Arredondando com três algarismos significativos:
\mathbf{F}_{2}\approx(9,54,\,0,\,9,54)\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a força tem componentes positivas em x e z, ou seja, aponta em direção a (+x,+z), que é justamente a direção de Q_{1} a partir de Q_{2} (atração).

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}_{2}\approx(9,54,\,0,\,9,54)\\ \mathrm{N}

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