Dados os vetores \vec{u}=(3,-5), \vec{v}=(1,2), mostre que o conjunto \{\vec{u}, \vec{v}\} é uma base do plano. Exprima \vec{r}=(7,-52) nessa base. resp.: \vec{r}=6 \vec{u}-11 \vec{v}
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=(3,-5), \vec{v}=(1,2) e pede duas coisas: mostrar que o conjunto \{\vec{u},\vec{v}\} é uma base do plano e expressar \vec{r}=(7,-52) nessa base. Informações relevantes dadas:
\vec{u}=(3,-5).
\vec{v}=(1,2).
\vec{r}=(7,-52).
As perguntas são:
Provar que \{\vec{u},\vec{v}\} é uma base de \mathbb{R}^2.
Encontrar escalares (coordenadas) a e b tais que \vec{r}=a\vec{u}+b\vec{v}.
Passo 2
O que significa ser uma base de \mathbb{R}^2? Uma coleção de dois vetores em \mathbb{R}^2 é base se e só se esses vetores forem linearmente independentes (ou seja, nenhum é múltiplo do outro), o que também equivale a dizer que a matriz formada por esses vetores como colunas tem determinante diferente de zero. Vou usar esse critério do determinante porque é direto e rápido para vetores em \mathbb{R}^2.
Passo 3
Formo a matriz cujas colunas são \vec{u} e \vec{v}:
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ -5 & 2\end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é dado por \det(A)=\text{(primeiro elemento da primeira linha)}\cdot\text{(segundo elemento da segunda linha)}-\text{(segundo elemento da primeira linha)}\cdot\text{(primeiro elemento da segunda linha)}. Em símbolos:
\det(A)=3\cdot 2 - 1\cdot(-5).
Passo 4
Calculo o valor numérico:
\det(A)=3\cdot 2 - 1\cdot(-5)=6+5=11.
Como \,11\neq 0, a matriz A é invertível, portanto as colunas de A (isto é, \vec{u} e \vec{v}) são linearmente independentes. Conclusão: \{\vec{u},\vec{v}\} é uma base de \mathbb{R}^2.
Passo 5
Agora quero achar a\) e \(b\) tais que
\[\vec{r}=a\vec{u}+b\vec{v}.
Escrevendo em coordenadas, com \vec{u}=(3,-5), \vec{v}=(1,2) e \vec{r}=(7,-52), isso vira o sistema linear de duas equações:
Expliquei: a primeira equação vem das componentes x\] e a segunda das componentes \(y.]
Passo 6
Vou resolver esse sistema por eliminação (método direto, fácil de fazer à mão). Para eliminar b, por exemplo, posso multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair a segunda. Multiplicando:
2\cdot(3a+1b=7)\\ \Rightarrow\\\ 6a+2b=14.
Passo 7
Agora subtraio a segunda equação -5a+2b=-52 da equação obtida 6a+2b=14:
(6a+2b)-(-5a+2b)=14-(-52).
No lado esquerdo os termos 2b se cancelam; no lado direito 14-(-52)=14+52. Portanto:
11a = 66.
Passo 8
Isolo a:
a=\frac{66}{11}=6.
Agora substituo a=6 em uma das equações originais para achar b. Uso a primeira equação 3a+b=7:
3\cdot 6 + b = 7 \quad\Rightarrow\quad 18 + b = 7.
Logo
b = 7-18 = -11.
Passo 9
Faço uma verificação rápida substituindo a=6 e b=-11 nas duas equações:
Primeira: 3\cdot 6 + 1\cdot(-11)=18-11=7 (ok).
Segunda: -5\cdot 6 + 2\cdot(-11) = -30 -22 = -52 (ok).
As duas componentes coincidem com \vec{r}, logo a solução está correta.
Passo 10
Interpretação final: as coordenadas de \vec{r} na base \{\vec{u},\vec{v}\} são (6,-11), isto é, \vec{r}=6\vec{u}-11\vec{v}. Isso significa que para obter \vec{r} você pega 6 vezes \vec{u} e soma -11 vezes \vec{v}.