Verifique se os vetores \vec{a}=(1,1,0), \vec{b}=(3,1,-2) e \vec{c}=(0,1,1), são LI ou LD. Se ocorrer o último caso, expressar um desses vetores em função dos outros dois. resp.: LD. \vec{b}=3 \vec{a}-2 \vec{c}.
Passo 1
O problema pede para verificar se os vetores \vec{a}=(1,1,0), \vec{b}=(3,1,-2) e \vec{c}=(0,1,1) são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Se forem LD, devo escrever um desses vetores como combinação linear dos outros dois. As informações dadas são exatamente as componentes desses três vetores em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Definição e objetivo: dizer que três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} são linearmente dependentes significa que existem escalares, nem todos zero, \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 tais que
Se só existir a solução trivial \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0, então são LI. Nosso objetivo é checar se existe solução não trivial.
Passo 3
Método escolhido (explicado didaticamente): para três vetores em \mathbb{R}^3 uma forma rápida é calcular o determinante da matriz cuja colunas (ou linhas) são esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se o determinante for zero, eles são LD. Intuição simples: o determinante mede o volume do paralelepípedo formado pelas colunas — volume zero significa que os três vetores estão no mesmo plano (ou linha), logo são dependentes.
Passo 4
Formo a matriz com as colunas \vec{a},\vec{b},\vec{c}:
Como \det(M)=0, concluímos que os vetores são linearmente dependentes (LD). Agora precisamos encontrar explicitamente uma relação de dependência, isto é, escrever um vetor como combinação linear dos outros dois.
Passo 6
Procuramos escalares x,y\) tais que
\[\vec{b}=x\vec{a}+y\vec{c}.
Escrevendo coordenada a coordenada isso dá o sistema
Da primeira equação segue x=3\]. Da terceira segue \(y=-2. Verificamos se a segunda é consistente: com x=3 e y=-2 temos x+y=3+(-2)=1, que bate com a segunda equação. Portanto a solução é consistente.]
Passo 7
Portanto a relação de dependência é
\vec{b}=3\vec{a}-2\vec{c}.
Isso mostra explicitamente que \vec{b} está no subespaço gerado por \vec{a} e \vec{c}, confirmando a dependência linear.