Verifique se os vetores \vec{a}=2 \vec{i}, \vec{b}=\vec{i}-\vec{j} e \vec{c}=3 \vec{k} são LI. em caso afirmativo, escreva o vetor \vec{d}=(4,-3,-1) na base formada por tais vetores. resp.: \vec{d}=1 / 2 \vec{a}+3 \vec{b}-1 / 3 \vec{c}
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede duas coisas: verificar se são linearmente independentes e, se forem, escrever um quarto vetor na base formada por eles. Dados fornecidos: \vec{a}=2\vec{i}, \vec{b}=\vec{i}-\vec{j}, \vec{c}=3\vec{k},
e o vetor a decompor \vec{d}=(4,-3,-1).
Também é útil reescrever os vetores em coordenadas em \mathbb{R}^3: \vec{a}=(2,0,0), \vec{b}=(1,-1,0), \vec{c}=(0,0,3).
O que se pede: 1) verificar se \vec{a},\vec{b},\vec{c} são LI; 2) expressar \vec{d} como combinação linear desses vetores, se possível.
Passo 2
O que significa ser linearmente independente (LI)? Três vetores em \mathbb{R}^3 são LI se a única solução da equação
\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Uma forma prática de testar LI para três vetores em \mathbb{R}^3 é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD (linearmente dependentes). Aqui vou montar a matriz cujas colunas são \vec{a},\vec{b},\vec{c}.
Passo 3
Matriz formada pelas colunas \vec{a},\vec{b},\vec{c}:
Observe que M é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Portanto
\det(M)=2\cdot(-1)\cdot3=-6.
Como \det(M)=-6\neq0, concluímos que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são linearmente independentes.]
Passo 4
Como são LI, eles formam uma base de \mathbb{R}^3 e podemos escrever
\vec{d}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}
para coeficientes únicos \alpha,\beta,\gamma. Substituindo as coordenadas: