Verifique se os vetores \vec{a}=2 \vec{i}, \vec{b}=\vec{i}-\vec{j} e \vec{c}=3 \vec{k} são LI. em caso afirmativo, escreva o vetor \vec{d}=(4,-3,-1) na base formada por tais vetores. resp.: \vec{d}=1 / 2 \vec{a}+3 \vec{b}-1 / 3 \vec{c}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede duas coisas: verificar se são linearmente independentes e, se forem, escrever um quarto vetor na base formada por eles. Dados fornecidos:
\vec{a}=2\vec{i},
\vec{b}=\vec{i}-\vec{j},
\vec{c}=3\vec{k},
e o vetor a decompor \vec{d}=(4,-3,-1).
Também é útil reescrever os vetores em coordenadas em \mathbb{R}^3:
\vec{a}=(2,0,0),
\vec{b}=(1,-1,0),
\vec{c}=(0,0,3).
O que se pede: 1) verificar se \vec{a},\vec{b},\vec{c} são LI; 2) expressar \vec{d} como combinação linear desses vetores, se possível.

Passo 2

O que significa ser linearmente independente (LI)? Três vetores em \mathbb{R}^3 são LI se a única solução da equação
\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Uma forma prática de testar LI para três vetores em \mathbb{R}^3 é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD (linearmente dependentes). Aqui vou montar a matriz cujas colunas são \vec{a},\vec{b},\vec{c}.

Passo 3

Matriz formada pelas colunas \vec{a},\vec{b},\vec{c}:
M=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Observe que M é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Portanto
\det(M)=2\cdot(-1)\cdot3=-6.
Como \det(M)=-6\neq0, concluímos que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são linearmente independentes.]

Passo 4

Como são LI, eles formam uma base de \mathbb{R}^3 e podemos escrever
\vec{d}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}
para coeficientes únicos \alpha,\beta,\gamma. Substituindo as coordenadas:
\alpha(2,0,0)+\beta(1,-1,0)+\gamma(0,0,3)=(4,-3,-1).
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 2\alpha+\beta=4,\\[4pt] -\beta=-3,\\[4pt] 3\gamma=-1. \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da segunda equação -\beta=-3 segue
\beta=3.
Da terceira equação 3\gamma=-1 segue
\gamma=-\dfrac{1}{3}.
Substituindo \beta=3 na primeira equação 2\alpha+\beta=4 obtemos
2\alpha+3=4 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Portanto os coeficientes são \alpha=\dfrac{1}{2}, \beta=3, \gamma=-\dfrac{1}{3}. Podemos verificar recompondo:
\dfrac{1}{2}\vec{a}+3\vec{b}-\dfrac{1}{3}\vec{c} =\dfrac{1}{2}(2,0,0)+3(1,-1,0)-\dfrac{1}{3}(0,0,3) =(1,0,0)+(3,-3,0)-(0,0,1)=(4,-3,-1),
confirmação feita.

Resposta

\vec{d}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+3\vec{b}-\dfrac{1}{3}\vec{c}

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