- Também definem-se espaços vetoriais sobre o conjunto dos números racionais (o corpo dos racionais), apenas fazendo com que a operação multiplicação por escalar considere apenas escalares racionais, e mantendo o restante da definição inalterado. Mostre que o conjunto
é um espaço vetorial sobre os racionais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares em
, satisfaz todas as definições de um espaço vetorial sobre o corpo
. Vamos usar a definição padrão de espaço vetorial, que lista cinco propriedades de adição e quatro de multiplicação por escalar.
Passo 2
Definimos em
para quaisquer vetores
,
em
e qualquer escalar
:
Note que como soma e produto de racionais são racionais, essas operações permanecem internas em
.
Passo 3
Fechamento em adição: Se
,
, então
, logo
.
Fechamento em multiplicação escalar: Se e
, então
, logo
.
Fechamento em multiplicação escalar: Se
Passo 4
Propriedades da adição em
:
- Comutatividade:
- Associatividade:
- Vetor zero:
- Inverso aditivo: para
o inverso é , pois
Passo 5
Propriedades da multiplicação por escalar em
:
- Distributividade sobre soma de vetores:
- Distributividade sobre soma de escalares:
- Compatibilidade de escalares:
- Elemento neutro escalar:
Resposta
Como todas as propriedades de adição e multiplicação por escalar estão satisfeitas em
com escalares em
, concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre
.