1. Também definem-se espaços vetoriais sobre o conjunto dos números racionais (o corpo dos racionais), apenas fazendo com que a operação multiplicação por escalar considere apenas escalares racionais, e mantendo o restante da definição inalterado. Mostre que o conjunto Q^2 é um espaço vetorial sobre os racionais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto Q^2, com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares em Q, satisfaz todas as definições de um espaço vetorial sobre o corpo Q. Vamos usar a definição padrão de espaço vetorial, que lista cinco propriedades de adição e quatro de multiplicação por escalar.

Passo 2

Definimos em Q^2 para quaisquer vetores (x1,x2), (y1,y2) em Q^2 e qualquer escalar qinQ:
(x1,x2)+(y1,y2) = (x1+y1,;x2+y2),
qcdot(x1,x2) = (q,x1,;q,x2)
Note que como soma e produto de racionais são racionais, essas operações permanecem internas em Q^2.

Passo 3

Fechamento em adição: Se (x1,x2), (y1,y2)inQ^2, então xi+yiinQ, logo (x1+y1,x2+y2)inQ^2.
Fechamento em multiplicação escalar: Se qinQ e (x1,x2)inQ^2, então q,xiinQ, logo (q,x1,q,x2)inQ^2.

Passo 4

Propriedades da adição em Q^2:
  1. Comutatividade:
(x1,x2)+(y1,y2) = (x1+y1,x2+y2) = (y1+x1,y2+x2) = (y1,y2)+(x1,x2)
  1. Associatividade:
l((x1,x2)+(y1,y2)r)+(z1,z2) = (x1+y1+z1,;x2+y2+z2)
= (x1,x2)+l((y1,y2)+(z1,z2)r)
  1. Vetor zero:
(0,0)+(x1,x2) = (0+x1,0+x2) = (x1,x2)
  1. Inverso aditivo: para (x1,x2) o inverso é ( -x1, -x2), pois
(x1,x2)+(-x1,-x2) = (0,0)

Passo 5

Propriedades da multiplicação por escalar em Q^2:
  1. Distributividade sobre soma de vetores:
qcdotl((x1,x2)+(y1,y2)r) = qcdot(x1+y1,;x2+y2) = (q(x1+y1),;q(x2+y2))
= (q x1,;q x2)+(q y1,;q y2) = qcdot(x1,x2);+;qcdot(y1,y2)
  1. Distributividade sobre soma de escalares:
(q+r)cdot(x1,x2) = ((q+r)x1,;(q+r)x2) = (q x1 + r x1,;q x2 + r x2)
= (q x1,q x2)+(r x1,r x2) = qcdot(x1,x2);+;rcdot(x1,x2)
  1. Compatibilidade de escalares:
qcdotl(rcdot(x1,x2)r) = qcdot(r x1,;r x2) = (q r x1,;q r x2) = ( (qr)x1,;(qr)x2 )
= (qr)cdot(x1,x2)
  1. Elemento neutro escalar:
1cdot(x1,x2) = (1cdot x1,;1cdot x2) = (x1,x2)

Resposta

Como todas as propriedades de adição e multiplicação por escalar estão satisfeitas em Q^2 com escalares em Q, concluímos que Q^2 é de fato um espaço vetorial sobre Q.

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